Encontrar demandas marshallianas para la función de producción de Leontief con diferentes potencias

Question

Intentando resolver un problema de práctica, no estoy seguro si voy en la dirección correcta ya que mi solución parece bastante desordenada. Dada la siguiente función de utilidad,

$u(x,y)=min\{x^{1/2},2y\}$ encontrar las demandas marshallianas.

Mi respuesta:

Como Leontief es complemento perfecto, debe ser el caso que $x^{1/2}=2y$ Si se sustituye por una restricción presupuestaria, se obtiene lo siguiente:

$p_x \times x + p_y \times y = w$ donde w es la renta total. Tomando $x^{1/2}=2y$ y si se eleva al cuadrado se obtiene $x=4y^2$ . Subiendo esto a la restricción daría:

$p_x \times 4y^2 + p_y \times y = w$ En este punto apliqué la fórmula cuadrática y obtuve una función de demanda para y de la siguiente manera,

$$y = \frac{-p_y \pm \sqrt{p_y^2 + 16 p_x w}}{8p_x}$$

Esto me parece desordenado, me imagino que puedo descartar el lado negativo de la cuadrática parece que implicaría que y es negativo. Aunque se agradecería alguna confirmación de que este es el enfoque correcto.

Gracias.

Answer 1

Como dijo Amit, su respuesta es correcta. Como dijo Toby, puedes descartar la salida negativa.

No hay mucho que añadir como respuesta realmente. Sin embargo, también me desconcertó bastante que un problema tan sencillo diera una respuesta compleja. Resulta que se obtiene una demanda lineal (sobre la renta) sólo si los exponentes de ambos componentes son iguales.

Consideremos el caso más general:

$$ U(x,y) = \text{min}\{ax^\alpha,by^\beta\} $$

La optimización requiere (se omite la notación de valores óptimos)

$$ ax^\alpha = by^\beta\ $$

La sustitución de uno de ellos en la restricción presupuestaria conduce a:

$$ p_x x + p_y \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{\beta}} x^{\frac{\alpha}{\beta}} = w $$

Aquí vemos que sólo cuando $\alpha=\beta$ La demanda será lineal (en función de los ingresos). En este caso:

$$ x = \frac{w}{p_x + p_y\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{\alpha}}} $$

Parece que no se puede derivar una solución algebraica para el caso general (no restringido), ya que el polinomio que se obtiene puede tener potencias irracionales.

Answer 2

Una exploración interesante aquí es si existen condiciones bajo las cuales dicha función de demanda refleja una relación negativa entre el precio y la cantidad demandada. Normalizando $p_x =1$ y manteniendo los ingresos constantes tenemos

$$y = \frac{-p_y}{8} + {\sqrt{(p_y/8)^2 + \frac14 w}}$$

$$\implies \frac {\partial y}{\partial p_y} = -\frac {1}{8}+ \frac 12\cdot\left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {2p_y}{8^2}$$

$$= -\frac 18 \cdot \left[ 1- \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8}\right]$$

Para que esta derivada sea negativa, queremos que la expresión dentro de los paréntesis sea positiva. Así que requerimos

$$1- \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8} > 0$$

$$\implies 1> \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8} $$

$$ \implies \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{1/2} > \frac {p_y}{8}$$

$$\implies (p_y/8)^2 + \frac14 w > (p_y/8)^2$$

que se mantiene siempre. Así, vemos que incluso esta función de utilidad de "aspecto extraño" con sus funciones de demanda "desordenadas", refleja siempre el efecto negativo del precio sobre la cantidad demandada.