Representación MA de un proceso de RA - Inglés sencillo

Question

Sólo quería hacer una pregunta cualitativa en términos de que el AR(1) tiene una representación MA infinita.

En primer lugar, aquí, en orden inverso: Puedo entender por qué es importante asegurar que un proceso MA tiene una representación AR infinita (es decir, el proceso MA/ruido blanco es inobservable).

Sin embargo, lucho intuitivamente para ver por qué un AR (1) puede ser especificado como un proceso MA infinito. En mi opinión, un proceso AR(1) estacionario tiene un parámetro autorregresivo que se extingue y un término de error de ruido blanco de media cero.

Sin embargo, me cuesta ver por qué es útil transmitir el AR (1) en términos puramente MA, si estos términos MA necesitan ser explicados por un AR infinito en primera instancia.

Agradecería que se aclarara el asunto, o al menos espero que suscite alguna conversación interesante.

Answer 1

Considere el proceso de AR. $$ y_t = \phi_0 + \phi_1 y_{t-1} + \varepsilon_t \tag{1}. $$

La representación MA infinita viene dada por:

$$ y_t = \frac{\phi_0}{1 - \phi_1} + \sum_{j = 0}^\infty \phi_1^{j} \varepsilon_{t-j} \tag{2} $$ Una de las razones por las que $(2)$ es útil para calcular, por ejemplo, la media, la varianza o la covarianza de la $y_t$ términos. Supongamos que $\varepsilon_t$ términos son i.i.d. con varianza $\sigma^2$ .

Utilizando $(1)$ para calcular la media da: $$ \mathbb{E}(y_t) = \phi_0 + \phi_1 \mathbb{E}(y_{t-1}). $$ Esta no es una solución de forma cerrada, por lo que habría que resolverla recursivamente. Sin embargo, si utilizamos $(2)$ que recibimos inmediatamente: $$ \mathbb{E}(y_t) = \frac{\phi_0}{1 - \phi_1}. $$ Además, si queremos calcular la varianza utilizando $(1)$ sería algo así: $$ \mathbb{E}((y_t - \mathbb{E}(y_t))^2) = \left[\phi_0 + \phi_1\mathbb{E}(y_{t-1}) + \varepsilon_t - \frac{\phi_0}{1 - \phi_1} \right]^2, $$ Lo cual no parece muy útil. Sin embargo, el uso de $(2)$ nos encontramos con que: $$ \begin{align*} \mathbb{E}((y_t - \mathbb{E}(y_t))^2) &= \mathbb{E}\left[\sum_{j = 0}^\infty\sum_{k = 0}^\infty \phi_1^j \phi_1^k\varepsilon_{t-j}\varepsilon_{k-j}\right],\\ &= \mathbb{E}\left[\sum_{j = 0}^\infty \phi_1^{2k}(\varepsilon_{j})^2\right],\\ &= \frac{\sigma^2}{1 - \phi_1^2} \end{align*} $$ De nuevo, calculando la covarianza a partir de $(1)$ será bastante engorroso, pero utilizando $(2)$ obtenemos fácilmente $(\ell > t)$ : $$ \begin{align*} \mathbb{E}((y_t - \mathbb{E}(y_t))(y_{\ell}- \mathbb{E}(y_\ell))) &= \mathbb{E}\left[\sum_{j = 0}^\infty \sum_{k = 0}^\infty \phi_1^j \phi_1^k \varepsilon_{t-j} \varepsilon_{\ell - k}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\sum_{j = 0}^\infty \phi_1^j \phi_1^{\ell - t + j} \sigma^2\right],\\ &= \sigma^2 \phi^{\ell - t} \sum_{j = 0}^\infty \phi_1^{2j},\\ &= \sigma^2 \frac{\phi^{\ell - t}}{1 - \phi^2} \end{align*} $$

Answer 2

He pensado en añadir aquí una respuesta a mi pregunta original sobre "por qué se necesita una representación de MA", ya que la he descubierto recientemente.

La respuesta corta es: que una representación MA nos permite ver cómo decaen los choques.

Espero que esto sea algo útil para quien haya tenido problemas con el co