Valor actual del hamiltoniano VS Valor presente del hamiltoniano en Economía

Question

He estado revisando varios problemas de control óptimo y me he preguntado bajo qué condiciones se debe utilizar el Hamiltoniano del valor actual sobre el Hamiltoniano del valor presente.

¿Depende del resultado específico que buscamos derivar? (elija el que prefiera) o ¿depende de la naturaleza del problema?

Answer 1

No hay una clara verdad o error acerca de esto, solo es una cuestión de conveniencia. Es probable que el Hamiltoniano de valor actual sea más conveniente cuando la función objetivo incluye un factor de descuento. Siguiendo a Chiang (1), supongamos que el problema es:

$\qquad$Maximizar $V = \int_0^T G(t,y,u)e^{-\rho t}$

$\qquad$sujeto a $\dot y=f(t,y,u)$

$\qquad$y condiciones de frontera

El Hamiltoniano estándar (valor presente) es:

$\qquad H=G(t,y,u)e^{-\rho t} + \lambda f(t,y,u)$

Si procedemos con este Hamiltoniano, la ecuación de co-estado (una de las primeras condiciones de orden) es:

$\qquad \dot \lambda = -\dfrac{\partial H}{\partial y}= -\dfrac{\partial [G(.)e^{-\rho t}]}{\partial y}-\lambda\dfrac{\partial f}{\partial y}$

Aunque es posible obtener una solución de esta manera, el factor de descuento complica las derivadas y puede hacer que la interpretación sea más desafiante.

Supongamos en su lugar utilizamos el Hamiltoniano de valor actual:

$\qquad H_c = G(t,y,u) + mf(t,y,u)$

donde $m$ es un multiplicador de Lagrange de valor actual definido por $m=\lambda e^{\rho t}$. La ecuación de co-estado es entonces:

$\qquad \dot m -\rho m = -\dfrac{\partial H_c}{\partial y} = -\dfrac{\partial G}{\partial y} - m\dfrac{\partial f}{\partial y}$

Esto es más simple porque no contiene término de descuento.

Referencia

1. Chiang A C (1992) Elementos de Optimización Dinámica pp 210 ff