Calcular $E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_{0}^{T_2}r_t\,dt} \frac{S\left(T_2\right)}{S\left(T_1\right)}\right]$

Question

Dejemos que $S\left(t\right)$ ser un valor financiero negociable que no genera flujo de caja (por ejemplo, sin dividendos). $S\left(t\right)$ sigue un proceso estocástico desconocido.

Ahora tenemos un derivado financiero que paga $\frac{S\left(T_2\right)} {S\left(T_1\right)}$ en $t=T_2$ , donde $0<T_1<T_2$

Supongamos que el tipo de interés $r_t$ no es constante.

¿Cuál es el valor actual de este derivado financiero en $t=0$ ?

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Mi intento hasta ahora:

$V\left(0\right)=E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_{0}^{T_2}r_t\,dt} \frac{S\left(T_2\right)}{S\left(T_1\right)}\right]$

Creo que mi siguiente paso debería ser deshacerme del término factor de descuento. ¿Alguna idea de cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Suponemos que un mundo Black-Scholes excepto la dinámica del precio de las acciones, es decir:

• No hay oportunidades de arbitraje.
• No hay pagos de dividendos de las acciones.
• Existencia de un activo sin riesgo que rinde el tipo libre de riesgo $-$ que aquí suponemos no constante, $(r_t)_{t \geq 0}$ .
• Posibilidad de pedir y prestar infinitamente a la tasa libre de riesgo.
• Posibilidad de comprar y vender infinitamente las acciones $-$ incluso cantidades fraccionarias .
• No hay costes de transacción.

También suponemos que la acción es negociable y que el derivado es alcanzable $-$ básicamente asumimos que estamos en el escenario de precios estándar, excepto por la dinámica del precio de las acciones.

Entonces el precio en el momento $t=0$ , $V(0)$ de la derivada viene dada por:

$$ V(0) = P(0,T_1)$$

donde $P(0,T_1)$ es el precio de un cupón cero sin riesgo contratado en el momento $t=0$ y madurando en el momento $t=T_1$ $-$ que es efectivamente una función de la tasa $r_t$ y es independiente de $S(t)$ .

Prueba financiera El derivado financiero que usted describe entrega una cantidad $w$ de la acción en el momento $T_2$ , donde:

$$ w = \frac{1}{S(T_1)}$$

Así, $w$ sólo se conocerá en el momento $T_1$ Cuando compre $w$ acciones de la acción. Pero en ese momento, el valor de dicha posición es trivialmente igual a $\$ 1 $. Thus you only need to have $\$1$ en el momento $T_1$ para liquidar la operación al vencimiento $T_2$ no se necesitan más transacciones. El valor actual de $\$ 1 $ at $ T_1 $ is simply equal to the value of a zero-coupon bond contracted at $ t=0 $ and maturing at $ T_1$. Por lo tanto:

$$ V(0) = P(0,T_1)$$

Prueba matemática bajo los supuestos enumerados al principio, por la ley de las expectativas iteradas, la adaptación del precio de las acciones con respecto a una filtración adecuada $(\mathcal{F})_{t \geq 0}$ y la propiedad de martingalidad de los precios descontados de las acciones bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ obtenemos:

$$ \begin{align} V(0) & = E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^{T_2}r_t\,dt} \frac{S(T_2)}{S(T_1)}\right] \\[6pt] & = E^{\mathbb{Q}}\left[E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^{T_2}r_t\,dt} \frac{S(T_2)}{S(T_1)}|\mathcal{F}_{T_1}\right]\right] \\[6pt] & = E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^{T_1}r_t\,dt}\frac{1}{S(T_1)}E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_{T_1}^{T_2}r_t\,dt} S(T_2)|\mathcal{F}_{T_1}\right]\right] \\[6pt] & = E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^{T_1}r_t\,dt}\frac{1}{S(T_1)}S(T_1)\right] \\[9pt] & = P(0,T_1) \end{align} $$

Answer 2

Una prueba alternativa: El contrato puede ser replicado esperando hasta $T_1$ y luego invertir un dólar en la acción. Por lo tanto, su valor debe ser el mismo que el de un bono de cupón cero con un precio de t y un vencimiento de $T_1$ .

Lo anterior es válido para cualquier dinámica de valores y de tipos.