¿cómo utilizar la optimización de la cartera para cubrir una cartera existente?

Question

Estoy trabajando en un proyecto de gestión de riesgos y quiero crear una cartera de cobertura personalizada para añadirla a una cartera existente. Me pregunto cómo tratamos la cartera existente en el problema de optimización.

Por ejemplo, quiero minimizar la varianza de ambas carteras en lugar de minimizar sólo la varianza de la cartera de cobertura. El MVP que estudié en la escuela sólo trata de encontrar las ponderaciones óptimas para reducir la varianza de la cartera actual, pero ¿qué hago si quiero utilizarla como cobertura? ¿Debo incluir la cartera actual como un solo activo en el problema, o establecer sus factores como restricciones, etc.?

Answer 1

Fijemos el universo de activos con $N$ activos cuyos rendimientos se distribuyen normalmente de forma multivariada con una matriz de covarianza $\Sigma$ . Usted ya ha invertido en $K<N$ activos (su cartera) y desea añadir otros activos de ese universo a su cartera para formar una cartera de cobertura(d). Supongamos que la cobertura debe autofinanciarse.

Reorganicemos y dividamos la matriz de covarianza en cuatro bloques:

$$ \Sigma \equiv \begin{pmatrix}\Sigma_{1} &\Sigma_{2} \\ \Sigma_{2}^T & \Sigma_{3}\end{pmatrix} $$ donde las dimensiones de las cuatro submatrices de arriba a la izquierda son $(K,K), (K,N-K), (N-K,K)$ y $(N-K,N-K)$ . Nótese que, debido a la simetría de la matriz de covarianza, la submatriz inferior izquierda es la transposición de la submatriz superior derecha.

El vector de su cartera actual $\mathbf{w}$ se invierte en el primer $K$ activos y tiene una variación de cartera que asciende a $\sigma_p^2=\mathbf{w}^T\Sigma_{1}\mathbf{w}$ . Ahora se añade una cartera de cobertura $\mathbf{h}$ que sólo puede invertir en el resto de $N-K$ activos, y la varianza total de su cartera es entonces

$$ \sigma_{total}^2=f(\mathbf{h})=\sigma_p^2+2\mathbf{h}\Sigma_{2}^T\mathbf{w}+\mathbf{h}^T\Sigma_3\mathbf{h} $$

Ahora podemos intentar minimizar esta expresión tomando la ruta habitual Suponiendo un presupuesto cero para las ponderaciones de cobertura

$$ L(h,\lambda)=\frac{1}{2}\left(\sigma_p^2+2h\Sigma_{2}^Tw+h^T\Sigma_3h\right)+\lambda(h^T1) $$ Con FOC $$ \begin{pmatrix}\Sigma_3&\mathbf{1}\\\mathbf{1}^T&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{h}\\ \lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\Sigma_2^T \mathbf{w}\\0\end{pmatrix} $$

A continuación, puede resolver $\mathbf{h},\lambda$ como

$$ \begin{pmatrix}\mathbf{h}^*\\ \lambda^*\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\Sigma_3&\mathbf{1}\\\mathbf{1}^T&0\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}-\Sigma_2^T \mathbf{w}\\0\end{pmatrix} $$