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Previsibilidad en el Teorema de la Representación Binomial

Estoy estudiando el libro de Baxter y Rennie "Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing" de Baxter y Rennie. Iba muy bien y la verdad es que me ha parecido una lectura fácil hasta el punto en el que introducen el Teorema de la Representación Binomial.

Aquí nos piden que consideremos la bifurcación desde el tick i-1 hasta el tick i, es decir $\Delta S_i = S_i - S_{i-1}$ y $\Delta N_i = N_i - N_{i-1}$ donde S y N son nuestras dos martingalas.

P1: En este punto comentan que la variabilidad de estos incrementos depende de la estructura de la rama. ¿Se refieren a las probabilidades asociadas a cada rama o al valor de las variables aleatorias en el momento i?

Siguiendo, dicen que como sólo hay dos lugares a los que ir, cualquier variable aleatoria dependiente de la rama está totalmente determinada por su tamaño de anchura y un desplazamiento constante dependiente de la filtración $F_{i-1}$ . Por lo tanto, si queremos construir un proceso aleatorio a partir de otro, en general será una construcción basada en un escalado (para hacer coincidir las anchuras) y un desplazamiento (para hacer coincidir los desplazamientos).

P2: ¿Estoy interpretando correctamente esto cuando reordeno las ecuaciones anteriores para dar $S_i = \Delta S_i + S_{i-1}$ y $N_i = \Delta N_i + N_{i-1}$ y luego ver los anchos como el $\Delta S_i, \Delta N_i$ partes y los desplazamientos como si se tratara de la $S_{i-1}, N_{i-1}$ ¿Partes?

P3: ¿Así que básicamente está diciendo que para transformar una martingala en otra tenemos que multiplicarla y luego desplazarla? ¿Hay alguna forma más intuitiva de ver por qué esto debería ser así?

Ahora vamos a lo más confuso: ....he dice que primero consideraremos el escalamiento. El tamaño de la diferencia entre un salto hacia arriba y hacia abajo es $\delta s_i = s_u - s_d$ para S y $\delta n_i = n_u - n_d$ para N, y que ambos dependen sólo de la filtración $F_{i-1}$ . Por lo tanto, podemos definir la relación de estos anchos de rama como $\phi_i = \frac{\delta n_i}{\delta s_i}$ .

P4: No puedo entender por qué $\delta s_i, \delta n_i$ son previsibles - dependen claramente de los valores futuros de la variable aleatoria, a saber $s_u,s_d,n_u,n_d$ . Esto se pasa por alto en todas las notas que he encontrado, lo cual es un poco irritante. Parece importante, ya que sólo cuando podamos confirmar que esto es cierto, podremos concluir que $\phi_i$ es efectivamente previsible, tal y como establece el Teorema.

P5: Ahora se refiere a $\delta s_i$ como un ancho de rama, mientras que él llamaba $\Delta S_i$ una anchura unas líneas antes (de ahí mi segunda pregunta anterior). En cualquier caso, $\phi_i$ se construye como un cociente tal que al multiplicar el $\Delta S_i$ lo llevará a la escala correcta para $\Delta N_i$ . ¿Es esto correcto?

Gracias.

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Yo tenía preguntas muy parecidas. Gracias por preguntar.

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¿Se refieren a las probabilidades asociadas a cada rama o al valor de las variables aleatorias en el momento $i$ ?

Se refieren a la variabilidad de los valores de los procesos aleatorios.

¿Estoy interpretando correctamente esto cuando reordeno las ecuaciones anteriores para dar $S_i = \Delta S_i + S_{i-1}$ y $N_i = \Delta N_i + N_{i-1}$ y luego ver los anchos como el $\Delta S_i, \Delta N_i$ partes y los desplazamientos como el $S_{i-1}, N_{i-1}$ ¿Partes?

Los autores probablemente no quieren decir eso. Más adelante expresan $\Delta N_i = \phi_i \Delta S_i + k$ , donde $k$ es el desplazamiento y $\phi_i$ el factor de escala (yo mismo encontré muy tediosa la terminología utilizada en la prueba).

¿Así que básicamente está diciendo que para transformar una martingala en otra tenemos que multiplicarla y luego desplazarla? ¿Hay alguna forma más intuitiva de ver por qué esto debería ser así?

El análogo intuitivo que se me ocurre es el de una transformación de coordenadas. Supongamos que tenemos un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional y las coordenadas de un punto en él. Si cambiamos a un sistema de coordenadas diferente en el mismo plano, las coordenadas de ese punto se escalarán (dependiendo de la escala de los nuevos ejes respecto a los antiguos) y se desplazarán (dependiendo de la ubicación del nuevo origen respecto al antiguo).

No puedo entender por qué $\delta s_i, \delta n_i$ son previsibles - dependen claramente de los valores futuros de la variable aleatoria, a saber $s_u,s_d,n_u,n_d$ . Esto se pasa por alto en todas las notas que he encontrado, lo cual es un poco irritante. Parece importante, ya que sólo cuando podamos confirmar que esto es cierto, podremos concluir que $\phi_i$ es efectivamente previsible, tal y como establece el Teorema.

La clave es que ambos $S$ y $N$ son $\mathbb{Q}-$ martingalas. Suponiendo que $S_{i+1}$ puede ser $s_u$ o $s_d$ (de manera similar para $N_{i+1}$ )

$S_i = qs_u + (1-q)s_d \implies (q-1)(s_d-S_i) = q(s_u-S_i)$

$N_i = qn_u + (1-q)n_d \implies (q-1)(n_d-N_i) = q(n_u-N_i)$

Dividiendo la primera ecuación entre la segunda, obtenemos

$\frac{s_d-S_i}{n_d-N_i} = \frac{s_u-S_i}{n_u-N_i}$ .

De nuevo, retocando las 2 ecuaciones originales:

$S_i = qs_u + (1-q)s_d \implies S_i-s_d = q(s_u-s_d)$

$N_i = qn_u + (1-q)n_d \implies N_i-n_d = q(n_u-n_d)$ ,

que nos da

$\frac{s_d-S_i}{n_d-N_i} = \frac{s_u-s_d}{n_u-n_d} = \frac{s_u-S_i}{n_u-N_i}$ .

Así que, independientemente de si el próximo movimiento es al alza o a la baja, el ratio $\frac{S_{i+1}-S_i}{N_{i+1}-N_i} = \frac{s_u-s_d}{n_u-n_d}$ seguirá siendo el mismo y, por tanto, se conoce con la información disponible hasta el paso actual $i$ .

$\phi_i$ se construye como un cociente tal que al multiplicar el $\Delta S_i$ lo llevará a la escala correcta para $\Delta N_i$ . ¿Es esto correcto?

Eso es correcto.

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