¿Tienen la media y la varianza de la cartera distribuciones de probabilidad?

Question

• Si $X$ es un $T\times N$ matriz de rendimientos de activos multivariados,
• y $w$ es un vector de pesos de la cartera óptima,

entonces la serie de rendimientos de la cartera es $r_p = X w \in\mathbb{R}^{T}$ . Esta serie de rendimientos puede utilizarse para formar la distribución de rendimientos de la cartera $f(r_p)$ . y el media de la cartera y variación de la cartera de esta distribución de la cartera se estimarían, por tanto, como escalares.

En lugar de escalares, ¿puede un distribución de la media de la cartera y de la varianza de la cartera se construya de alguna manera?

Answer 1

Sí, pueden/hacen. Pero hay que beber el proverbial Kool-Aid (o tomar la píldora azul es probablemente la metáfora más relevante en estos días ;-), y abordar esto como un problema de inferencia bayesiana.

Así que en lugar de mu, tienes una distribución de probabilidad de mu normalmente distribuida, dependiendo de mu-de-mu y varianza-de-mu. Y lo mismo para la varianza (mu-de-var, y var-de-var). Estos cuatro parámetros, llamados theta, determinan la distribución de tus dos parámetros mu y sigma.

Así que tenemos p(mu|theta) y p(varianza|theta) como distribuidos normalmente. Podemos utilizar Bayes para calcular la p(theta|resultados) posterior, que es proporcional a p(resultados|theta) * p(theta) anterior. Como el conjugado bayesiano para una distribución normal es otra distribución normal, no tenemos que calcular todos los niveles posibles; y la posterior de salida tendrá la misma forma que la anterior de entrada. En efecto, la priorización inicial deja de importar mucho, ¡una vez que se alimenta el modelo con resultados!

Dada esta p(theta|resultado) posterior, la previsión de p(resultado|theta,nuevos datos) se convierte en algo trivial, y le da una distribución basada en los datos en torno a sus nuevos datos, en lugar de una estimación puntual y dura.

Answer 2

Dado un conjunto de rendimientos, digamos 500 días, y una construcción de cartera fija, se pueden derivar los 500 cambios diarios de valoración de la cartera.

Puede medir fácilmente la media y la varianza de estos cambios de valoración. Como se trata de una muestra, le interesa la confianza de sus estimadores (es decir, la media y la varianza).

Un método que se utiliza a menudo es un procedimiento de remuestreo llamado muestreo bootstrap. Realice 1000 simulaciones seleccionando 500 puntos de datos de los 500 originales (CON sustitución). Cada una de las 1000 simulaciones producirá una media y una varianza diferentes. Puede estimar la varianza de las medias y la varianza de las varianzas a partir de estos datos.

Puedes leer un poco más sobre los pros y los contras del muestreo bootstrap en la wikipedia.

Un lanzamiento de moneda

Personalmente, creo que el muestreo bootstrap es un área de la estadística infravalorada o infrautilizada. Permítanme destacar un ejemplo sencillo.

Suponga que lanza una moneda 20 veces y recibe el resultado:

1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

¿Qué nos dice eso? Nos dice que la media es 0,55 y la varianza es 0,26. Pero, ¿podría estar equivocada mi media y cuán equivocada podría estar?

En este escenario sabemos que la probabilidad real de un lanzamiento de moneda es del 50% y que la distribución es binomial. Pero consideremos el trazado de las distribuciones real y paramétrica de los resultados en comparación con 200 muestras bootstrap de 20 puntos de datos con reemplazo:

Creo que es un resultado poderoso de una técnica tan simple.

Answer 3

En el límite, la distribución de la media de las muestras tomadas de una distribución idéntica independiente se distribuye siempre normalmente según el teorema del límite central.
Por tanto, la distribución empírica de la media de la cartera debería estar distribuida normalmente según el teorema del límite central. Pero la pregunta es entonces, ¿cómo calcular la media y la varianza de esa distribución normal?