Tipo de interés sin riesgo para la fijación de precios de las opciones a partir de los tipos de la curva de rendimiento del tesoro

Question

Estoy experimentando con una implementación de la valoración Black-Scholes para opciones de compra, y me encontré con las siguientes preguntas:

1. La fijación de precios Black-Scholes requiere un tipo de interés sin riesgo. ¿Cuál es la "mejor práctica", es decir, si escribiera un documento financiero, de dónde obtendría exactamente estos tipos en diferentes períodos de tiempo? ¿Es el LIBOR/SOFR?
2. Supongamos que sólo tengo acceso al Tasas diarias de la curva de rendimiento del Tesoro . ¿Puedo extraer un tipo de interés libre de riesgo razonable, aunque burdo, para las opciones con diferentes vencimientos? Se agradecería cualquier ayuda o referencia.

Answer 1

La mejor práctica actual es utilizar los tipos de los fondos federales para descontar. Si sólo se dispone de los tipos del Tesoro, esto se acercará bastante a los vencimientos de 0 a 3 años, ya que esos títulos del Tesoro cotizan bastante cerca de los FedFunds. Sin embargo, los tipos del Tesoro divergen más de los Fed Funds en los vencimientos más largos. Por ejemplo, en los plazos de 10 años, donde los bonos del Tesoro son actualmente unos 18 puntos básicos más altos que los fondos de la Fed. Por supuesto, estas diferencias pueden variar mucho en función de la oferta y la demanda en el mercado.

Answer 2

Según tengo entendido, técnicamente, B-S utiliza el "tipo de interés a corto plazo", que es el tipo instantáneo de préstamo para el plazo T, denominado $r_t(T)$ . Es decir, en el momento $t=0$ si inviertes 1€ sin riesgo durante el plazo T, en T tu inversión valdrá $1\times e^{r_{t=0}(T)*T}$ . Ahora, para obtener los valores de $r_{t}(T)$ hay que construir una curva de rendimiento para la variación de T. Tenga en cuenta que $r_t(T)$ no es directamente observable, por lo que tenemos que calcular primero los factores de descuento y luego convertirlos en $r_t(T)$ .

El primer paso es elegir qué instrumentos utilizar para ello, atendiendo a su primer punto. Cuando los grandes bancos se dedican a comprar/vender opciones, acciones, etc., se financian prestando/depositando de otros bancos al tipo LIBOR (que pronto será SOFR/SONIA), no al tipo del Tesoro. Por lo tanto, debería construir lo que se llama la curva del "mercado monetario", es decir, utilizar los tipos LIBOR para el corto plazo (t<3m), los futuros de tipos de interés para el medio plazo (3m<t<1y) y los swaps de tipos de interés para el largo plazo (1y hasta 20/30 años).

Digamos que quieres el tipo corto, $r_t(T)$ para el plazo de 3 meses (T=0,25). En primer lugar, busque el tipo Libor a 3 meses, denominado $L_{3m}$ . Ahora bien, si se invierte, 1 libra en $L_{3m}$ , en 3 meses se recuperará $1 + L_{3m}*0.25$ . Por tanto, el factor de descuento para este periodo es, $$ \delta_{3m} = \frac{1}{1 + L_{3m}*0.25} $$ así que ahora todo lo que tenemos que hacer es convertir esto a la tasa corta $r_t(T)$ . Esto es simplemente, $$ r_t(T) = \frac{-1}{T} * ln(\delta_{3m}) $$ (supongamos que ahora es t=0)

Repitiendo esto para los otros plazos del LIBOR y haciendo cosas similares para los Futuros/Swaps, se obtiene un conjunto de valores para $r_t(T)$ que luego se puede interpolar para obtener una estimación de los valores intermedios. En este punto tienes tu curva de rendimiento y puedes escoger el $r_t(T)$ para el tenor en el que se está fijando el precio de la opción. Este es un enfoque bastante ingenuo para construir la curva del mercado monetario en general, sin embargo, la construcción de la curva de rendimiento es todo un campo en sí mismo y para sus propósitos esto debería ser más que suficiente.

*Nota: los tipos LIBOR/Futuros/Swap se publican diariamente para varias divisas en el sitio web de CME Group.