Si hay una maximización de la utilidad sujeta a una restricción presupuestaria, ¿será siempre un modelo de agente representativo? ¿Puede ser heterogéneo en algunos casos?
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tdm
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tldr para tener un consumidor representativo, las funciones de utilidad indirecta deben tener la forma polar de Gorman, lo que significa que las curvas de Engel individuales son líneas rectas con pendientes comunes. Un caso particular de esta forma polar de Gorman es cuando todos tienen una utilidad homogénea idéntica, por ejemplo, funciones de utilidad de Cobb-Douglass idénticas. Otro ejemplo es cuando todo el mundo tiene una utilidad casi lineal.
Forma polar Gorman
Normalmente, las demandas individuales no se agregan a la demanda de un consumidor representativo. De hecho, las únicas preferencias que se agregan son las denominadas Gorman polar forma.
La forma polar de Gorman requiere la función de utilidad indirecta (digamos del individuo $k$ ) adopta la siguiente forma funcional: $$ v_k(p,m_k) = a_k(p) + b(p)m_k $$ Dónde $m_k$ es la renta del individuo $k$ y $p$ son los precios. Aquí $a_k(p)$ es una función decreciente de los precios por sí sola y puede ser específica del individuo (es decir, ser diferente para diferentes individuos), mientras que $b(p) > 0$ que también es una función decreciente de los precios tiene que ser el mismo para todos los individuos.
Invirtiendo esta función con respecto a $m_k$ da la función de gasto: $$ e_k(p,u) = \frac{-a_k(p) + u}{b(p)} = -\frac{a_k(p)}{b(p)} + \frac{u}{b(p)} $$ Esto demuestra que $a_k(p)/b(p)$ y $1/b(p)$ tienen que ser funciones homogéneas de grado $1$ en $p$ .
Tomando la derivada, digamos que a $p_i$ da la demanda hicksiana del bien $i$ del individuo $k$ : $$ h_k(p) = \frac{-a_{k,i}(p) b(p) - (-a_k(p)+u)b_i(p)}{b(p)^2}, $$ donde utilizamos la notación $a_{k,i}(p)$ para la derivada parcial de $a_k(p)$ con respecto a $p_i$ y $b_i(p)$ es la derivada parcial de $b$ con respecto a $p_i$ .
A continuación, sustituyendo la función de gasto se obtiene la función de demanda marshalliana del bien $i$ del individuo $k$ : $$ q_k(p,m_k) = -\frac{a_{k,i}(p)}{b(p)} + \frac{-b_i(p)}{b(p)}m_k $$ Obsérvese que se trata de una función lineal que es lineal en $m_k$ con pendiente $-b_i(p)/b(p)$ que es el mismo para todos los individuos. Por tanto, las curvas de Engel son líneas rectas con pendientes idénticas.
La demanda agregada (marshalliana) se obtiene sumando $q_k(p,m_k)$ sobre todos los consumidores $k$ : $$ \sum_k q_k(p,m_k) = -\sum_{k} \frac{a_{k,i}(p)}{b(p)} + \frac{b_i(p)}{b(p)}M $$ donde $M = \sum_k m_k$ (esto también se puede obtener utilizando inmediatamente la identidad de Roy en la función de utilidad indirecta). Obsérvese que el lado derecho sólo depende de la renta total $M$ y no en la forma concreta en que se distribuyen los ingresos entre los individuos. Así, podemos denotar esta demanda agregada como $Q(p,M)$ .
Además, utilizando un razonamiento similar al anterior, se puede demostrar que $Q(p,M)$ es la función de demanda de un representativo consumidor con preferencias : $$ V(p,M) = \sum_k a_k(p) + b(p) M $$ Por lo tanto, si todo el mundo tiene preferencias de la forma de Gorman Polar, entonces hay un consumidor agregado con preferencias que se pueden obtener tomando la suma de las funciones de utilidad indirectas individuales.
Preferencias homotéticas y preferencias cuasi-lineales
En general, no es posible invertir la forma polar de Gorman para $v_k(p,m_k)$ para obtener una forma funcional de la función de utilidad directa $u_k(q)$ . Así que no se sabe qué condiciones hay que imponer a la función de utilidad directa para obtener un consumidor representativo.
Sin embargo, dos casos especiales de la forma polar de Gorman es cuando $a_k(p) = 0$ para todos $k$ . En este caso: $$ v_k(p,m_k) = b(p)m_k, $$ que coincide con la función de utilidad homotética. Esto da lugar a curvas de Engel lineales que pasan por el origen, con la misma pendiente en todos los individuos. Por tanto, si todos tienen idéntico y funciones de utilidad homotéticas, por ejemplo Cobb-Douglass, entonces hay un consumidor representativo. Utilizando la identidad de Roy se obtiene $$ x(p,m_k) = \frac{-b_i(p)}{b(p)} m. $$ La demanda agregada viene dada entonces por: $$ Q(p,M) = -\frac{b_i(p)}{b(p)} M. $$
Otro caso es el de $b(p) = 1$ que da: $$ v_k(p, m_k) = a_k(p) + m $$ Se trata de la función de utilidad indirecta de una persona con utilidad casi lineal. En este caso, la curva de Engel es una línea recta con pendiente unitaria. Utilizando la identidad de Roy, obtenemos para las demandas individuales $$ q_k(p,m_k) = - a_{k,i}(p) $$ que no depende de la renta (ya que tenemos una utilidad casi lineal). Entonces la demanda agregada da $Q(p,M) = -\sum_k a_{k,i}(p)$ que es sólo una función constante.
Matthias Benkard
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Si hay una maximización de la utilidad sujeta a una restricción presupuestaria, ¿será siempre un modelo de agente representativo? ¿Puede ser heterogéneo en algunos casos?
Sí, trivialmente puede ser heterogéneo en algunos casos. Se pueden tener problemas de maximización de la utilidad sujetos a restricciones presupuestarias que no son problemas de agentes representativos. También se pueden tener problemas de maximización de la utilidad de agentes heterogéneos con restricciones presupuestarias. Un ejemplo trivial sería una simple modificación del modelo de intercambio puro de 2 bienes, 2 estados y 2 consumidores en el que se supone que el primer consumidor tiene una utilidad $u(x_1,x_2) = Ax_1^{0.5}x_2^{0.5}$ y segundo digamos $u(x_1,x_2) = Bx_1^{0.1}x_2^{0.9}$ ambos sujetos a una restricción presupuestaria dada por sus dotaciones. Este sería un problema de maximización de la utilidad, con restricciones presupuestarias pero sin agentes representativos.
