No veo la relación entre mi método de cálculo y el método realizado en el libro Cartea y Jaimungal (Algorithmic and High Frequency Trading, página 220.) Tenemos un proceso de reversión de la media $$d\mu_t=-k\mu_tdt+\eta_{1+N_{t^-}}dN_t$$ que tiene solución $$\begin{align}\mu_t&=e^{-kt}\mu_0+\int^t_0e^{-k(t-u)}\eta_{1+N_{u^-}}dN_u \\&=e^{-kt}\mu_0+\sum_{m=1}^{N_t} e^{-k(t-\tau_m)}\eta_m. \end{align}$$ donde $N_t$ es un proceso de Poisson con intensidad $\lambda$ y $\eta_i$ son i.i.d. e independientes de $N_t$ , $k>0$ y $\tau_m$ denotan los tiempos de llegada de Poisson.
Ahora calculan el valor esperado a través de la integral para conseguir $$\mathbb{E}[\mu_t]=e^{-kt}\mu_0+\frac{\lambda}{k}\mathbb{E}[\eta_1](1-e^{-kt}).$$
Intento hacer lo mismo a través de la definición de la suma que no funciona del todo.
Los tiempos de llegada son Gamma( $m,\lambda$ ) distribuido y el MGF de una v.r. Gamma $X$ da $\mathbb{E}[e^{kX}]=(\frac{\lambda}{\lambda-k})^m$ .
Por lo tanto, $$\begin{align} e^{kt}\mathbb{E}[\mu_t] -\mu_0 &= \mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} e^{k\tau_m}\eta_m\bigg]\\ &= \mathbb{E}\bigg[\mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} e^{k\tau_m}\eta_m\bigg]|N_t\bigg]\\ &= \mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} \mathbb{E}\Big[e^{k\tau_m}\Big]\mathbb{E}\Big[\eta_m\Big]|N_t\bigg]\\ &= \mathbb{E}\Big[\eta_1\Big] \cdot \mathbb{E}\bigg[\sum_{m=1}^{N_t} \mathbb{E}\Big[e^{k\tau_m}\Big]|N_t\bigg] \end{align}$$
Ahora bien, si sustituyo el resultado de la MGF de una función gamma en esto y resuelvo la suma geométrica, me encuentro con que no obtengo la respuesta correcta. Estoy seguro de que los pasos de la suma geométrica y la FGM son correctos y que el último paso después de esto sería calcular la expectativa incondicional del proceso de Poisson, pero creo que debe haber un error en alguna parte, ya que los otros pasos parecen estar bien.
Para completar, la suma geométrica se convierte en $$\frac{\lambda}{k}\bigg(1-\Big(\frac{\lambda}{\lambda-k}\Big)^{N_t}\bigg)$$ por lo que los términos del proceso de Poisson no encajan bien. Curiosamente, si este producto fuera $\frac{\lambda}{k}\bigg(1-\Big(\frac{\lambda}{\lambda+k}\Big)^{-N_t}\bigg)$ Creo que funciona, pero no encuentro ninguna razón que apoye de dónde viene esto. Cualquier ayuda sobre esto sería fantástica.
