¿Cómo se financia el decaimiento de theta al replicar una opción?

Question

Al construir una cartera de réplica para una posición corta en una opción de compra bajo Black Scholes, no soy capaz de localizar el origen de las ganancias por el decaimiento de theta. Cuando el decaimiento de theta se materializa, no entiendo cómo la cartera de réplica genera las ganancias necesarias para financiar la nueva posición de mayor valor (menos negativa).

Para ser concreto, intentaré ilustrar la cuestión con un ejemplo numérico. Supongamos que tenemos los siguientes parámetros: $K=10$ , $S(0)=10$ , $\sigma=0.1$ , $r=0$ , $T=10, q=0$ .

La fórmula del precio de compra de Wikipedia es

$$C(S,t)=S\Phi(d_1)-K\Phi(d_2)$$

donde

$$d_1 = \frac{\log(S/K)+ (\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \\ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} $$

En $t=0$ tenemos $C(10,0)=1.256$ . Para replicar una posición corta en la opción, utilizamos que el delta inicial es $C_S(10,0)=\Phi(d_1)=0.5628$ .

Comenzamos tomando una posición corta de delta en el subyacente e invertimos los ingresos restantes en el mercado monetario. Por tanto, tenemos una posición corta por valor de $-10*C_S(10,0)=-5.628$ en el activo de riesgo y una posición en el mercado monetario de $-C_S(10,0)+10*C(10,0)=4.372$ . Podemos comprobar que $4.372-5.628=-1.256=-C(10,0)$ .

Ahora supongamos que estamos en $t=1$ y el precio del subyacente no cambia, es decir $S(1)=10$ . El valor de la llamada es ahora $C(10,1)=1.192$ lo que significa que una posición corta en la opción de compra debería reportar 0,064 de beneficio. Sin embargo, antes de ajustar la cobertura, el valor de nuestra cartera de réplica parece ser el mismo: tenemos una posición corta de -5,628 y una posición en el mercado monetario de 4,372, lo que da $4.372-5.628=-1.256 \leq -C(10,1)=-1.192$ .

Para continuar la réplica, necesitaríamos una posición corta en el subyacente igual a $-10*C_S(10,1)=-5.596$ y una posición en el mercado monetario de $C_S(10,1)+10*C(10,1)=4.404$ . Pero necesitamos un 0,064 adicional que parece que no tenemos: ¿de dónde sacamos las 0,0032 unidades del activo de riesgo para disminuir la posición corta y las 0,032 unidades del numerario para aumentar la posición en el mercado monetario? Parece que nos faltan 0,064 y no podemos continuar con la replicación autofinanciada.

¿Quizás esto tenga que ver con el uso de un incremento de tiempo discreto en el ejemplo?

Answer 1

No he comprobado tus números, pero el principio de cobertura delta es que si la volatilidad realizada de las acciones es igual a la volatilidad del precio/cobertura, entonces theta y gamma se compensan mutuamente.

Ya que ha asumido $r = q = 0$ la PDE de precios es $$ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = 0 $$ que se puede reescribir utilizando la notación griega de opciones como $$ \Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma=0 $$ Ahora suponga que está cubriendo su opción con delta en un paso de tiempo pequeño $\delta t$ . Su PnL es $$ \delta \text{pnl}=C(S+\delta S, t + \delta t)-C(S,t)-\Delta \delta S \approx \frac{1}{2}\Gamma \delta S^2+\Theta \delta t $$ Combinando con la EDP de precios se obtiene $$ \delta \text{pnl}\approx \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma\left(\left(\frac{\delta S}{\sigma S}\right)^2 - \delta t\right) $$

Así que si el mercado no se mueve ( $\delta S/S=0$ ) y estás largo en gamma, pierdes dinero. Por el contrario, si el movimiento del mercado (hacia arriba o hacia abajo) es $|\delta S/S| > \sigma \sqrt{\delta t}$ se gana dinero con una posición larga en gamma.