Matemáticamente, una mayor aversión al riesgo conduce a una menor elasticidad intertemporal de sustitución (existe una relación inversa). Pero, ¿por qué?
La medida (relativa) de la aversión al riesgo se mide como: $$ r(x) = -x\frac{u''(x)}{u'(x)} $$
Consideremos una función de utilidad intertemporal $u(x_1) + \beta u(x_2)$ . La maximización de esto con respecto a una restricción presupuestaria intertemporal da la siguiente condición de primer orden: $$ \frac{u'(x_2)}{u'(x_1)} = \frac{1+r}{\beta}. $$ donde $r$ es el tipo de interés. Esto significa que la tasa marginal de sustitución debe ser igual al tipo de interés.
Ahora, para un nivel de utilidad dado, la curva de indiferencia $x_1(x_2)$ puede definirse implícitamente como $$ u(x_1(x_2)) + u(x_2) = \bar u. $$ Utilizando el teorema de la función implícita, podemos calcular su pendiente: $$ \frac{\partial x_1}{\partial x_2} = - \frac{u'(x_2)}{u'(x_1)}. $$ La pendiente de la curva de indiferencia es, por tanto, igual al negativo de la tasa marginal de sustitución. Ahora, diferenciemos de nuevo esto con respecto a $x_2$ : $$ \begin{align*} \frac{\partial^2 x_1}{\partial x_2 \partial x_2} &= - \frac{u''(x_2) u'(x_1) - u'(x_2) u''(x_1) \dfrac{\partial x_1}{\partial x_2}}{(u'(x_1))^2},\\ &= - \frac{u''(x_2)}{u'(x_1)} - \frac{u'(x_2)}{u'(x_1)} \frac{u''(x_1)}{u'(x_1)}\dfrac{ u'(x_2)}{u'(x_1)},\\ &= -\frac{u''(x_2)}{u'(x_2)}\frac{u'(x_2)}{u'(x_1)} - \left(\frac{u'(x_2)}{u'(x_1)}\right)^2 \frac{u''(x_1)}{u'(x_1)},\\ &= \frac{r(x_2)}{x_2} \frac{(1+r)}{\beta} + \left(\frac{(1+r)}{\beta}\right)^2 \frac{r(x_1)}{x_1}. \end{align*} $$ Esto demuestra que la curvatura de la curva de indiferencia en el óptimo es creciente en la medida de aversión al riesgo.
En cuanto a su relación con la elasticidad de sustitución intertemporal, vemos intuitivamente que cuanto mayor sea la aversión relativa al riesgo, mayor será la curvatura de la curva de indiferencia, es decir, mayor será la pendiente de la curva de indiferencia, $\frac{u'(x_2)}{u'(x_1)}$ cambiará como respuesta a un cambio en la relación $\frac{x_2}{x_1}$ . A la inversa, cuanto mayor sea la aversión relativa al riesgo, menor será el ratio $\frac{x_2}{x_1}$ cambiará en respuesta a un cambio en la pendiente $\frac{u'(x_2)}{u'(x_1)}$ (por ejemplo, debido a un cambio en los tipos de interés).
Para verlo matemáticamente, consideremos la elasticidad intertemporal de la subsitución: $$ \varepsilon_s = -\frac{\partial \ln(x_2/x_1)}{\partial \ln(u'(x_2)/u'(x_1))} $$ Mide la variación porcentual de $x_2/x_1$ debido a un cambio de un punto porcentual en la tasa marginal de sustitución.
Podemos escribir todo en términos de $x_2$ (como hicimos anteriormente), y luego tomar las derivadas del numerador y del denominador con respecto a $x_2$ y finalmente evaluarlo en el óptimo: $$ \begin{align*} \varepsilon_s &= -\frac{\dfrac{x_1}{x_2}\left(\dfrac{x_1 - x_2 \dfrac{\partial x_1}{\partial x_2}}{(x_1)^2}\right)}{-\dfrac{1}{\dfrac{u'(x_2)}{u'(x_1)}} \left(\dfrac{r(x_2)}{x_2} \dfrac{1+r)}{\beta} + \left(\frac{1+r}{\beta}\right)^2 \dfrac{r(x_1)}{x_1}\right)},\\ &= -\frac{\dfrac{1}{x_2} - \dfrac{\dfrac{\partial x_1}{\partial x_2}}{x_1} }{\dfrac{1}{\dfrac{\partial x_1}{\partial x_2}} \left(\dfrac{r(x_2)}{x_2} \dfrac{1+r}{\beta} + \left(\frac{1+r}{\beta}\right)^2 \dfrac{r(x_1)}{x_1}\right)},\\ &= -\frac{\dfrac{1}{x_2} - \dfrac{- \dfrac{1+r}{\beta}}{x_1} }{ -\dfrac{\beta}{1+r} \left(\dfrac{r(x_2)}{x_2} \dfrac{1+r}{\beta} + \left(\frac{1+r}{\beta}\right)^2 \dfrac{r(x_1)}{\beta}\right)},\\ &= \frac{\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{1+r}{\beta}}{ \left(\dfrac{x_1}{x_2}r(x_2) + \dfrac{1+r}{\beta} r(x_1)\right)},\\ \end{align*} $$
La última expresión da la elasticidad en función de la pendiente relativa $x_2/x_1$ y las aversiones al riesgo relativas. Ahora bien, si la aversión relativa al riesgo es constante, digamos $r(x_2) = r(x_1) = \sigma$ esto se simplifica a $\varepsilon_s = 1/\sigma$ .
Sin embargo, vemos que si la aversión al riesgo aumenta, es decir $r(x_2)$ y $r(x_1)$ aumentar, entonces $\varepsilon_s$ disminuye.
Si me vuelvo más reacio al riesgo, me gustaría suavizar mi consumo. Así que aumentaré mi participación en el mercado financiero para evitar o reducir el riesgo. Pero, ¿cómo disminuye eso mi elasticidad de sustitución intertemporal? ¿Por qué voy a ser menos sensible a los cambios en el tipo de interés si me vuelvo más adverso al riesgo? ¿Cuál es la intuición aquí?
Hay una diferencia entre el consumo y el ahorro. Cuanto mayor sea su aversión al riesgo, mayor será la curvatura de la curva de indiferencia, es decir, menor será $\varepsilon_s$ . Por lo tanto, cuanto menor sea el cambio de $x_2/x_1$ debido a un cambio en, por ejemplo, el tipo de interés $r$ .
Se puede pensar en la curvatura de la curva de indiferencia como el grado de complementariedad entre $x_1$ y $x_2$ . Cuanto mayor sea la aversión al riesgo, más $x_1$ y $x_2$ se convierten en complementos. Así que voy a tratar de consumir $x_1$ y $x_2$ juntos, lo que equivale a aumentar la suavización del consumo.
Para suavizar mi consumo, tendré que prestar y pedir prestado en el mercado financiero. Por lo tanto, si mis ingresos cambian mucho con el tiempo, tendré que ahorrar y pedir prestado mucho. En cambio, si mis ingresos son razonablemente suaves a lo largo del tiempo, no necesitaré pedir préstamos ni ahorrar mucho para suavizar mi consumo.
¿O porque sólo quiero suavizar mi consumo, no me importan los cambios en el tipo de interés?
Esto es un malentendido, los consumidores con aversión al riesgo realmente se preocupan por los cambios en el tipo de interés.
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En primer lugar, un cambio en los tipos de interés afecta a su decisión de ahorro. Sin embargo, es cierto que los cambios en el tipo de interés no cambiarán $x_2/x_1$ mucho. Así, aunque mi consumo relativo a lo largo del tiempo no se verá muy afectado por las variaciones del tipo de interés, la cantidad que ahorro o pido prestada puede cambiar sustancialmente.
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Un cambio en los tipos de interés también modifica mi utilidad. Supongamos, para simplificar, que tengo una aversión al riesgo infinita, por lo que siempre elegiré $x_1 = x_2$ . En este caso, mi restricción presupuestaria intertemporal se convierte en
$$ \begin{align*} &x_1 + \frac{x_2}{(1+r)} = y_1 + \frac{y_2}{(1+r)},\\ \to &x_1\frac{2+r}{1+r} = y_1 + \frac{y_2}{1+r},\\ \to &x_1 = \frac{(1+r)y_1 + y_2}{2+r} \end{align*} $$
Entonces: $$ \frac{\partial x_1}{\partial r} = \frac{y_1(2+r) - [(1+r)y_2 + y_2]}{(2+r)^2} = \frac{y_1-x}{2+r}. $$ Así que si mi consumo $x_1$ es menor que mis ingresos en el periodo 1 $y_1$ (es decir, ahorro en el periodo 1), podré consumir más si los tipos de interés aumentan. Por otro lado, si $x_1 > y_1$ (Así que pido prestado en el periodo 1), entonces estaré peor si los tipos de interés aumentan. Así que el cambio de los tipos de interés modificará mi utilidad dependiendo de si soy un ahorrador o un prestatario neto.
En cambio, los amantes del riesgo, aunque también participan en el mercado financiero, no se preocupan por suavizar su consumo Por ejemplo, si el tipo de interés aumenta, pueden reducir drásticamente su consumo actual para consumir más en el futuro, pero los amantes del riesgo no se preocupan por el aumento del tipo de interés.
De nuevo los consumidores amantes del riesgo (o neutrales) también se preocupan sobre los tipos de interés. Consideremos, para simplificar, un consumidor neutral al riesgo con una función de utilidad $u(x_1, x_2) = x_1 + \beta x_2$ . Entonces está claro que si:
- $\beta < \frac{1}{1+r}$ consumiré todo en el período 1, por lo que $x_1 = y_1 + \frac{y_2}{1+r}$ y $x_2 = 0$ . La utilidad será igual a $y_1 + \frac{y_2}{1+r}$ que es decreciente en $r$ . Los tipos de interés más altos reducen mis ingresos futuros descontados, por lo que estaré peor.
- $\beta > \frac{1}{1+r}$ entonces consumiré todo en el periodo 2, por lo que $x_1 = 0$ y $x_2 = (1+r) y_1 + y_2$ . Entonces la utilidad es igual a $\beta (1+r)y_1 + \beta y_2$ que está aumentando en $r$ . Los tipos de interés más altos aumentan mi consumo en el periodo 2.
Como conclusión, el consumidor saldrá ganando con una subida de los tipos de interés si es un ahorrador neto y perderá si es un prestatario neto.
Es cierto que, normalmente, un consumidor neutro en cuanto al riesgo no modificará mucho sus decisiones de ahorro si cambian los tipos de interés. Sin embargo, si, por ejemplo, debido a la subida de los tipos de interés pasamos de una situación en la que $\beta < 1/(1+r)$ a una situación en la que $\beta > 1/(1+r)$ entonces, repentinamente, trasladará todo el consumo del período 1 al período 2, lo que significará un gran cambio del préstamo al ahorro.
