convexidad de las preferencias y existencia de equilibrio

Question

Consideremos una economía de producción con $L$ bienes, un único consumidor y un único productor cuyo conjunto de producción viene dado por $Y\subset R^L$ . La cuestión es encontrar la condición de existencia de los equilibrios de esta economía.

Creo que las condiciones de existencia son:

1. continuidad y monotonicidad para la preferencia del consumidor

2. convexidad para la tecnología de la empresa.

En general, la convexidad de las preferencias de los consumidores parece ser necesaria también para la existencia de equilibrios. Sin embargo, no puedo encontrar el contraejemplo de que no hay equilibrio de esta economía si la preferencia del consumidor no es convexa y se satisfacen todos los demás consumos.

¿La convexidad de la preferencia del consumidor es realmente una condición para la existencia de equilibrios en esta economía de un consumidor y un productor?

Answer 1

Consideremos una economía con dos productos básicos. La producción es trivial, $Y=\{0\}$ hay un único consumidor con dotación $(1,1)$ cuyas preferencias están representadas por la función de utilidad dada por $u(x_1,x_2)=\max\{x_1,x_2\}+1/2\cdot x_1 +1/2\cdot x_2$ . Estas preferencias son continuas, estrictamente monótonas, pero no convexas. Se puede verificar que no hay equilibrio en esta economía demostrando que para ningún sistema de precios, la demanda del consumidor es igual a la oferta de $(1,1)$ .