Equilibrio bayesiano de Nash en un duopolio de competencia Cournot

Question

Tengo dificultades para resolver un juego de equilibrio Bayesiano de Nash en un entorno de competencia cournot de duopolio. Así, tengo dos empresas con dado cantidades de producción, digamos $q_1$ y $q_2$ (es decir, no es una decisión). El producto de la empresa 1 es de baja calidad, mientras que el producto de la empresa 2 es de alta calidad con probabilidad $\theta$ y de baja calidad con $1-\theta$ . En consecuencia, los productos de distinta calidad tienen un potencial de mercado diferente para la empresa 2. La forma en que establezco la función de precios para la baja calidad es $$M-q_1-q_2$$ Para los productos de alta calidad, existe una prima de precio tal que el precio de la alta calidad viene dado por $$\alpha M-q_1-q_2$$ donde $\alpha>1$ . Otro aspecto diferente del problema es que las empresas venden primero los productos en el mercado primario, con el mecanismo de precios especificado anteriormente. Existe un mercado secundario. Funciona de tal manera que si cualquier empresa vende allí sus productos (restantes), obtiene un precio garantizado $m$ ( $M > m$ ). Actualmente, mi solución incluye 8 casos diferentes. Resuelvo el equilibrio bayesiano de Nash resolviendo simultáneamente tres funciones de beneficio para encontrar las cantidades a suministrar en el mercado primario. Dado que $q_1$ y $q_2$ se tratan fijo, necesito tener un $\min \{q_i, \hat{q}_i\}$ para $i=1, 2H, 2L$ , donde $\hat{q}_i$ es la solución de equilibrio para el mercado primario. Pero estoy tratando de reducir los casos a un pequeño conjunto para poder continuar mi otro análisis con la solución. En consecuencia, tengo dos preguntas: 1. ¿Es correcta mi solución actual? 2. ¿Cómo puedo reducir los casos a un número manejable?

Si te preguntas cómo es mi solución de equilibrio para el mercado primario, aquí la tienes. $$\hat{q}_1 =\frac{M-m}{3}-\frac{\theta (\alpha M-M)}{3}$$ $$\hat{q}_{2L} =\frac{M-m}{3}+\frac{\theta (\alpha M-M)}{6}$$ $$\hat{q}_{2H}^M = \frac{\alpha M-m}{3}+\frac{(1+\theta)(\alpha M-M)}{6}$$

Answer 1

Si las capacidades $q_1$ y $q_2$ son los mismos, digamos $\overline{q}$ se pueden descartar algunos casos.

Las mejores funciones de respuesta vienen dadas por: $$ \begin{align*} \hat q_1 &= \min\left\{\frac{M - (1-\theta) \hat q_2^L - \theta \hat q_2^H - m}{2}, \overline{q}\right\},\\ \hat q_2^L &= \min\left\{\frac{M - \hat q_1 - m}{2}, \overline{q}\right\},\\ \hat q_2^H &= \min\left\{\frac{\alpha M - \hat q_1 - m}{2}, \overline{q}\right\} \end{align*} $$

Primero podemos demostrar que $\hat q_2^H \ge \hat q_2^L$ .

Propuesta: $\hat q_2^H \ge \hat q_2^L$

Prueba: Si $\hat q_2^H = \overline{q}$ la prueba es evidente. Si no, desde $\alpha > 0$ tenemos: $$ \hat q_2^H = \frac{\alpha M - \hat q_1 - m}{2} \ge \frac{M - \hat q_1 - m}{2} \ge q_2^L. $$

A continuación, también podemos demostrar que $\hat q_2^L \ge \hat q_1$ .

Propuesta: $\hat q_2^L \ge \hat q_1$ .

Prueba: si $\hat q_2^L = \overline{q}$ la prueba es evidente. Si no, entonces: $$ \begin{align*} \hat q_1 - \hat q_2^L &\le \frac{M - (1-\theta) \hat q_2^L - \theta \hat q_2^H - m}{2} - \hat q_2^L,\\ &= \frac{M - (1-\theta) \hat q_2^L - \theta \hat q_2^H - m}{2} - \frac{M - \hat q_1 - m}{2},\\ &= \frac{-(1-\theta) \hat q_2^L - \theta \hat q_2^H + \hat q_1}{2},\\ \to 2 \hat q_1 - 2 \hat q_2^L &\le -(1- \theta) \hat q_2^L - \theta \hat q_2^H + \hat q_1 \\ \to \hat q_1 &\le \hat q_2^L - \theta(\hat q_2^H - \hat q_2^L) \le \hat q_2^L. \end{align*} $$ donde la última línea se desprende de $\hat q_2^H \ge \hat q_2^L$ .

Las dos proposiciones muestran que sólo tenemos que considerar los siguientes casos:

1. $\hat q_2^H < \overline{q}$ y $\hat q_2^L < \overline{q}$ y $\hat q_1 < \overline{q}$
2. $\hat q_2^H = \overline{q}$ y $\hat q_2^L < \overline{q}$ y $\hat q_1 < \overline{q}$ .
3. $\hat q_2^H = \hat q_2^L = \overline{q}$ y $\hat q_1 < \overline{q}$ .
4. $\hat q_2^H = \hat q_2^L = \hat q_1 = \overline{q}$ .

Para cada uno de ellos se pueden calcular los valores de equilibrio y luego hay que comprobar si efectivamente corresponden a las mejores respuestas. Esto reduce el número de casos de 8 a 4. No creo que puedas hacerlo mejor.