Problema de optimización con una restricción

Question

Consideremos el siguiente problema de maximización $$\max_{\{\tau(\cdot),q(\cdot)\}}\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}\left(\theta q(\theta)-\dfrac{\gamma\sigma^{2}}{2}q^2(\theta)-\tau(\theta)\right)f(\theta)d\theta$$ con sujeción a $$\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}\left(\tau(\theta)-v(\theta)q(\theta)\right)f(\theta)d\theta\geq\underline{\pi}$$ donde $\theta=s-\gamma\sigma^2 I$ y tiene un soporte acotado, $[\underline{\theta},\bar{\theta}]$ , $\gamma\sigma^2>0$ y $s\sim N(\bar{s},\sigma_1^{2})$ y $I\in\mathbb{R}$ . Las funciones $u(\cdot)$ , $\tau(\cdot)$ y $q(\cdot)$ son lineales con respecto a $\theta$ , $\underline{\pi}$ es una constante y $f(\theta)$ es el pdf de la distribución normal.

Este es un problema del trabajo de Biais, Rochet y Martimont del año 2000 problema en la subsección $3.5$ . Estoy un poco confundido con la restricción y no puedo entender cómo resolverlo. No es obvio para mí. Gracias de antemano.

$\underline{Hint:}$ No asumen explícitamente que el $\theta$ La variable sigue una distribución normal, pero esto no tiene nada que ver con el problema de optimización.

$\underline{Comments?:}$ Sé que ha pasado tiempo pero, para resumir, el artículo de Biais, Rochet y Martimont utiliza el cálculo de variaciones, ¿no es así? Estoy un poco confundido porque pensaba que se puede utilizar el cálculo de variaciones sólo en el caso de que se tenga la dimensión temporal en el problema. Por lo que veo, y corrígeme si me equivoco, en este artículo, su modelo es de tipo estático, ¿no es así?

Answer 1

Debes pensar en la integral como lo harías con una suma. Entonces el enfoque lagrangiano habitual parece muy natural.

\begin {align} \mathcal {L} &= \int_\underline { \theta }^ \overline { \theta } \left ( \theta q( \theta ) - \frac { \gamma\sigma ^2}{2}q^2( \theta ) - \tau ( \theta ) \right ) f( \theta ) d \theta + \lambda \left ( \int_ { \underline { \theta }}^ \overline { \theta } ( \tau ( \theta ) - v( \theta ) q( \theta )) f( \theta ) d \theta \right ) \\ &= \int_\underline { \theta }^ \overline { \theta } \left ( \theta q( \theta ) - \frac { \gamma\sigma ^2}{2}q^2( \theta ) - \tau ( \theta ) + \lambda ( \tau ( \theta ) - v( \theta ) q( \theta )) \right ) f( \theta ) d \theta - \lambda \underline { \pi } \\ &= \int_\underline { \theta }^ \overline { \theta } \left ( \theta q( \theta ) - \frac { \gamma\sigma ^2}{2}q^2( \theta ) - \lambda v( \theta ) q( \theta ) + ( \lambda -1) \tau ( \theta ) \right ) f( \theta ) d \theta - \lambda \underline { \pi } \end {align}

Ahora, simplemente trata $\theta$ como índice de suma y escribir las condiciones de primer orden caso por caso (para cada $\theta$ ):

\begin {align} \frac { \partial }{ \partial q( \theta )} \mathcal {L} & = \theta - \gamma\sigma ^2 q( \theta ) - \lambda v( \theta ) = 0 \\ \frac { \partial }{ \partial \tau ( \theta )} \mathcal {L} & = \lambda - 1 = 0 \end {align}

En la nota 16 los autores hacen la suposición de que la restricción de participación es vinculante, y por lo tanto $\lambda^* > 0$ y por lo tanto $$ \lambda^* = 1, $$ según la segunda condición de primer orden. Sustituyendo el valor de $\lambda^*$ en la primera condición se obtiene \begin {equation} q^*( \theta ) = \frac { \theta - v( \theta )}{ \gamma \sigma ^2}. \end {Ecuación}

Las suposiciones hechas en el último párrafo de la sección garantizan que $\tau^*(\theta)$ es distinto de cero en casi todas partes (para todas las posibles $\theta$ excepto un valor arbitrario, que denotan $\theta_0$ - debe depender de la forma funcional exacta de $v$ en caso de que elija uno).