Tengo un problema para calcular el mejor predictor lineal de una serie temporal. Estoy utilizando el libro Brockwell-Davis 2016 - Introducción a las series temporales y las previsiones . En primer lugar, permítanme anotar una convención de notación, una proposición y un problema de prerrequisito:
- El mejor predictor lineal en términos de $1,X_n,...,X_1$ se denota por $P_nX_{n+h}$ y tiene claramente la forma $P_nX_{n+h}=a_0+a_1X_n+...+a_nX_1$
- Dejemos que $(X_t, t\in\mathbb{Z})$ sea una serie temporal con $\text{Var}(X_t)<\infty$ para todos $t\in \mathbb{Z}$ y $X^n := (X_{t_1},...,X_{t_n})$ una colección de variables aleatorias de la serie temporal en $n$ diferentes tiempos. Entonces el mejor predictor lineal de $X_t$ se da $P_nX_{n+h}$ como en el punto 1. Los coeficientes $a_0,...,a_n$ están determinadas por las ecuaciones lineales \begin {align} \mathbb {E}(X_t-P_nX_{n+h})&=0 \\ \mathbb {E}(X_{t_j}(X_t-P_nX_{n+h})) &= 0, \quad \text {para todos} \quad j=1,...,n. \tag1 \end {align}
El problema necesario: Demuestre que el proceso $X_t=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t), \ t=0,\pm1,...$ donde $A$ y $B$ son variables aleatorias no correlacionadas con media 0 y varianza 1 y $\omega$ una frecuencia fija en $[0,\pi]$ es estacionario y encontrar su media y función de autocovarianza.
Resolviendo lo anterior llegué a las respuestas $\mu_X=0$ y $\gamma_X(h)=\cos(\omega h)$ que se verifica que son correctas. Ahora la tarea es la siguiente:
Dejemos que $\{X_t\}$ sea el proceso definido en el problema anterior. Encontrar $P_1X_2.$
Intento:
Según lo anterior tenemos $P_1X_2 = a_0+a_1X_1 = a_0+a_1A\cos(\omega)+a_1B\sin(\omega)$ . La primera ecuación en $(1)$ da
\begin {align} \mathbb {E}[X_2-P_1X_2] &= \mathbb {E}[X_2-a_0-a_1A \cos (2 \omega )-a_1B \sin (2 \omega )] \\ &= \mathbb {E}[X_2]-a_0=0+a_0 = 0 \Longleftrightarrow a_0=0. \end {align}
La segunda ecuación en $(1)$ da
\begin {align} \mathbb {E}[X_1(X_2-P_1X_2)] &= \mathbb {E}[X_1X_2] - \mathbb {E}[(X_1(a_0 + a_1A \cos (2 \omega )+a_1B \sin (2 \omega )))] \\ &= \mathbb {E}[2A^2 \cos ^3( \omega )-A^2 \cos ( \omega )+2B^2 \cos ( \omega )-2B^2 \cos ^3( \omega )] \\ &-a_1 \mathbb {E}[2B^2 \cos ^3( \omega )-A^2 \cos ( \omega )+2B^2 \cos ( \omega )-2B^2cos( \omega )] \\ &= \mathbb {E}[(2B^2-A^2) \cos ( \omega )]-a_1 \mathbb {E}[(2B^2-A^2) \cos ( \omega )] \\ &= \cos ( \omega ) - a_1 \cos ( \omega ) = 0 \Longleftrightarrow a_1 = 1. \end {align}
después de enchufar $X_1$ y usando eso $\mathbb{E}[A^2]=\text{Var}[A]=1 =\mathbb{E}[B^2]=\text{Var}[B]$ así como algunas identidades trigonométricas. Así, el mejor predictor lineal de $X_2$ basado en $1, X_1$ es $P_1X_2 = a_0 + a_1X_1 = X_1.$ ¿Estoy haciendo esto correctamente?
