Demostración del teorema del tiempo de ejercicio óptimo para un valor derivado americano en un modelo de precios de activos binomial de N períodos

Question

Al menos dos libros de texto (Shreve's Stochastic Calculus for Finance - I, teorema 4.4.5 o Campolieti & Makarov's Financial Mathematics, proposición 7.8) demuestran el teorema del ejercicio óptimo que dice que el tiempo de parada $ \tau^* = min \{n; V_n = G_n\}$ maximiza $$ V_n = \max_{\tau \in S_n} \tilde{\mathrm{E}}\Big[\mathrm{I}_{\tau \leq N}\frac{1}{(1+r)^{\tau-n}}G_{\tau}\Big] \qquad (1) $$ demostrando que el proceso detenido $ \frac{1}{(1+r)^{n \wedge \tau^*}}V_{n \wedge \tau^*}$ es una martingala bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo.

Pero, ¿cómo puede alguien concluir de este hecho que $\tau^*$ es en realidad maximizar el lado derecho de $(1)$ ?

Answer 1

Creo que la prueba ya se ha proporcionado al final de la demostración en el Teorema 4.4.5 de Shreve. En concreto, hay que tener en cuenta que, como \begin {align*} \frac {1}{(1+r)^{n \wedge \tau ^*}}V_{n \wedge \tau ^*}. \end {align*} es una martingala, \begin {align*} \tilde { \mathbb {E}} \left ( \frac {1}{(1+r)^{N \wedge \tau ^*}}V_{N \wedge \tau ^*} \right ) &= V_0 = \max_ { \tau \in S_0} \tilde { \mathbb {E}} \left ( \mathbb {I}_{\{ \tau \leq N\}} \frac {1}{(1+r)^{ \tau }}G_{ \tau } \right ). \tag {1} \end {align*} Por otro lado, \begin {align*} &\ \tilde { \mathbb {E}} \left ( \frac {1}{(1+r)^{N \wedge \tau ^*}}V_{N \wedge \tau ^*} \right ) \\ =&\ \tilde { \mathbb {E}} \left ( \mathbb {I}_{\{ \tau ^* \leq N\}} \frac {1}{(1+r)^{ \tau ^*}}V_{ \tau ^*} \right ) + \tilde { \mathbb {E}} \left ( \mathbb {I}_{\{ \tau ^* = \infty\ }} \frac {1}{(1+r)^N}V_N \right ) \\ =&\ \tilde { \mathbb {E}} \left ( \mathbb {I}_{\{ \tau ^* \leq N\}} \frac {1}{(1+r)^{ \tau ^*}}V_{ \tau ^*} \right ), \tag {2} \end {align*} como, en $(\tau^* =\infty)$ , $V_N=0$ . Combinando $(1)$ y $(2)$ concluimos que \begin {align*} \tilde { \mathbb {E}} \left ( \mathbb {I}_{\{ \tau ^* \leq N\}} \frac {1}{(1+r)^{ \tau ^*}}V_{ \tau ^*} \right ) = \max_ { \tau \in S_0} \tilde { \mathbb {E}} \left ( \mathbb {I}_{\{ \tau \leq N\}} \frac {1}{(1+r)^{ \tau }}G_{ \tau } \right ), \end {align*} es decir, el máximo se alcanza en $\tau^*$ .

Answer 2

Para simplificar, asumo que todos los factores de descuento son 1. $$ V_{n}=E\left (G_{{\tau}'_{n}} \mid \mathscr{F}_{n} \right ) \: \text{with} \: {\tau}'_{n} \in S_{n} \: \text{maximizing} \: V_{n} $$ Definimos $$ \tau^{\ast}_{n} = \min \left \{ m \geq n: V_{m} = G_{m} \right \} $$

Buscamos una prueba de que $\tau^{\ast}_{n}$ es una opción válida para ${\tau}'_{n}$ . Basta con demostrar que para n = 0, es decir, que es posible establecer $$ {\tau}'_{0} = \tau^{\ast}_{0} $$

El hecho de que el proceso detenido $V_{n\wedge \tau^{\ast}_{0}}$ es una martingala no es suficiente para demostrar la afirmación. Por ejemplo $\tau^{\ast}_{0} = 0$ haría que el proceso detenido fuera también una martingala, pero muy probablemente no maximizaría $V_{n}$ .

De hecho, yo no utilizaría el proceso de parada en absoluto, sino que probaría la reclamación así:

Parece claro, que el ${\tau}'_{n} \in S_{n}$ que maximiza $E\left(G_{\tau}\mid \mathscr{F}_{n} \right ) $ también maximiza $E\left(G_{\tau}\mid \mathscr{F}_{0} \right ) $ mientras sigamos limitándonos a $S_{n}$ .

De ello podemos concluir que ${\tau}'_{0} = n$ implica ${\tau}'_{n} = n$ y eso lleva a $$ {\tau}'_{0} = n \:\Rightarrow\: V_{n} = G_{n} $$ porque ${\tau}'_{0} = n \:\Rightarrow\: {\tau}'_{n} = n$ y en el plató $\left\{{\tau}'_{n} = n\right\}$ es $G_{{\tau}'_{n}}=G_{n}$ que es $\mathscr{F}_{n}$ -medible para que en este conjunto se mantenga: $$V_{n} = E\left (G_{{\tau}'_{n}} \mid \mathscr{F}_{n} \right ) = E\left (G_{n} \mid \mathscr{F}_{n} \right ) = G_{n}$$

Ahora sabemos que $\left \{ {\tau}'_{0} = n\right \}$ y $\left \{ \tau^{\ast}_{0} = n\right \}$ son ambos un subconjunto de $\left \{ V_{n} = G_{n} \right \}$ . Lo que queda por demostrar es que la elección del mínimo $n$ en la definición de ${\tau}'_{0}$ funciona.

Sabemos que $V_{n}$ es un supermartes: $$ V_{n} = \max_{\tau \in S_{n}} E\left(G_{\tau}\mid\mathscr{F}_{n} \right)\geq \max_{\tau \in S_{m}} E\left(G_{\tau}\mid\mathscr{F}_{n} \right) \\ = E\left(\max_{\tau \in S_{m}} E\left(G_{\tau}\mid\mathscr{F}_{m} \right) \:\mid \mathscr{F}_{n}\right) = E\left(V_{m}\mid\mathscr{F}_{n}\right) \;for \: m \gt n $$ La desigualdad proviene del hecho de que $S_{n} \supseteq S_{m}$ para $\: m \gt n$ .

Supongamos que tenemos $\tau^{\ast}_{n} = \min \left \{ m \geq n: V_{m} = G_{m} \right \}$ y otro tiempo de parada $\tau_{1}$ con $V_{n} = G_{n}$ si $\tau_{1}=n$ y $\tau_{1}\geq\tau^{\ast}_{0}$ Utilizamos el teorema de muestreo opcional sobre el supermartingal $V_{n}$ $$V_{\tau^{\ast}_{0}}\geq E\left(V_{\tau_{1}}\mid\mathscr{F}_{\tau^{\ast}_{0}}\right)$$ $$\Rightarrow\: E\left(V_{\tau^{\ast}_{0}}\mid\mathscr{F}_{0}\right)\geq E\left(V_{\tau_{1}}\mid\mathscr{F}_{0}\right)$$ $$\Rightarrow\: E\left(G_{\tau^{\ast}_{0}}\mid\mathscr{F}_{0}\right)\geq E\left(G_{\tau_{1}}\mid\mathscr{F}_{0}\right)$$

lo que significa que efectivamente $\tau^{\ast}_{0}$ y no $\tau_{1}$ maximiza $E\left(G_{\tau^{\ast}_{0}}\mid\mathscr{F}_{0}\right)$

Q.E.D.

Answer 3

Hace un año, no era capaz de entender lo siguiente.

El primer Shreve define $V_n$ de la siguiente manera:

Definición 4.4.1. Para cada $n, n = 0,1,\cdots, N$ , dejemos que $G_n$ sea una variable aleatoria que dependa de la primera $n$ lanzamientos de monedas. Un valor derivado americano con proceso de valor intrínseco $G_n$ es un contrato que puede ejercerse en cualquier momento antes y durante $N$ y, si se ejerce en el momento $n$ , da sus frutos $G_n$ . Definimos el proceso de precios $V_n$ para este contrato mediante la fórmula americana de fijación de precios neutrales al riesgo $$V_n= \max_{\tau \in \mathcal{S}_n} \widetilde{\mathbb{E}}_n\Big[\mathbb{I}_{\{\tau \leq N\}}\frac{G_\tau}{(1+r)^{\tau-n}} \Big], \: n = 0, 1, \cdots, N$$

A continuación, las propiedades importantes de $V_n$ (¡según la definición anterior!) se demuestran en

Teorema 4.4.2. El proceso de precios de valores derivados americanos dado por la definición 4.4.1 tiene las siguientes propiedades:

(i) $V_n \geq \max\{G_n, 0\}$ para todos $n$

(ii) El proceso de descuento $\frac{V_n}{(1+r)^n}$ es un supermartingale

(iii) si $Y_n$ es otro proceso que satisface $Y_n \geq \max\{G_n, 0\}$ para todos $n$ y para el cual $\frac{Y_n}{(1+r)^n}$ es un supermartingale entonces $Y_n \geq V_n$ para todos $n$

Resumimos la propiedad (iii) diciendo que $V_n$ es el proceso más pequeño que satisface (i) y (ii)

Entonces, en el teorema 4.4.3 Shereve redefine $V_n$ como Proceso de envoltura Snell (aunque Shreve no utiliza este término):

Teorema 4.4.3. Tenemos el siguiente algoritmo de fijación de precios para el proceso de precios de valores derivados dependientes de la trayectoria dado por la definición 4.4.1:

$V_N(\omega_1 \cdots \omega_N) = \max{\{G_N, 0\}} $

$V_n(\omega_1 \cdots \omega_n) = \max\{ G_n(\omega_1 \cdots \omega_n), \frac{1}{1+r}[\tilde{p}V_{n+1}(\omega_1 \cdots \omega_nH) + \tilde{q}V_{n+1}(\omega_1 \cdots \omega_nT)]$

Shreve prueba el teorema que demuestra que la redefinición $V_n$ satisface las condiciones del Teorema 4.4.2. y concluye que $$V_n = \max\{ G_n, \frac{1}{1+r}[\tilde{p}V_{n+1} + \tilde{q}V_{n+1}]\} = \max_{\tau \in \mathcal{S}_n} \widetilde{\mathbb{E}}_n\Big[\mathbb{I}_{\{\tau \leq N\}}\frac{G_\tau}{(1+r)^{\tau-n}} \Big] \tag{A}\label{A}$$

A partir de ahora Shreve utiliza el redefinido $V_n$ . El tiempo de ejercicio óptimo se define en

Teorema 4.4.5. El tiempo de parada $$\tau^* = \min\{n; G_n = V_n\}$$ maximiza el lado derecho de (4.4.1) cuando $n=0$ es decir $$ V_0 = \widetilde{\mathbb{E}}\Big[\mathbb{I}_{\{\tau^* \leq N\}}\frac{G_{\tau^*}}{(1+r)^{\tau^*}} \Big]$$

Demuestra que la parada redefinido $V_n$ es una martingala: $$ V_{n\wedge \tau^*} = \mathbb{E}_n\frac{V_{n+1\wedge \tau^*}}{1+r} \tag{B}\label{B}$$

Desde $\eqref{A}$ concluimos: $$ V_0 = \max_{\tau \in \mathcal{S}_0} \widetilde{\mathbb{E}}\Big[\mathbb{I}_{\{\tau \leq N\}}\frac{G_{\tau}}{(1+r)^{\tau-n}} \Big] $$

Desde $\eqref{B}$ concluimos: $$ V_0 = V_{0 \wedge \tau^*} = \mathbb{E}\frac{V_{N\wedge \tau^*}}{{1+r}^{N\wedge\tau^*}}$$

así que el recordatorio de la prueba de Shreve debería estar claro ahora.

Para otra demostración del teorema del ejercicio óptimo y en general una mejor explicación del tema recomiendo encarecidamente Musiela & Rutkowski's "Martingale Methods in Financial Modelling" referenciado por @Gordon en muchas ocasiones.