Supongamos que hay un agente que se enfrenta a la siguiente apuesta g:
Claramente, la E[g] = 100 \$. Since agent is risk averse, we would expect that U(E[g]) < U(CE) , where CE is the certainty equivalent. Now, my question is, is it hypothetically possible that the agent's Certainty Equivalent of this gamble will be below 50\$ o es necesariamente cierto que estará en algún lugar entre el 50 \$ and 100\$ ?
"Dado que el agente es averso al riesgo, esperaríamos que $U(E[g]) < U(CE)$ , donde $CE$ es el equivalente de certeza".
Esto está mal. Presumo que la Propiedad de Utilidad Esperada se mantiene aquí, así que, si denotamos la apuesta por $G$ una variable aleatoria uniforme discreta que toma tres valores según la configuración, tenemos
$$U(CE) \equiv \sum_{i=1}^3p_iU(g_i) = E[U(G)] < U[E(G)]$$
la desigualdad a la derecha debido a la desigualdad de Jensen y la suposición de que $U()$ es cóncava. Esto también nos da
$$ CE < E(G)$$
que debería ser intuitivo: una persona neutral al riesgo exigiría $E(G)$ el valor esperado de la apuesta, para no aceptarla. Una persona con aversión al riesgo exigiría menos dejar la apuesta.
Una vez aclarado esto, el OP pregunta: ¿Es posible que $CE < \min G$ ?
La respuesta es : No. Supongamos que los resultados de las apuestas están ordenados, por lo que $\min G = g_1$ .
Ad absurdum supongamos que $CE < g_1$ retenciones. Entonces tendremos
$$U(CE) < U(g_1)$$
Utilizando la definición de $CE$ sustituimos el lado izquierdo
$$\sum_{i=1}^3p_iU(g_i) < U(g_1) \implies p_2U(g_2) + p_3U(g_3) < (1-p_1) U(g_1)$$
$$\implies p_2U(g_2) + p_3U(g_3) < p_2U(g_1) + p_3U(g_1)$$
$$\implies p_2[U(g_2)-U(g_1)] + p_3[U(g_3)-U(g_1)] < 0$$
Pero esto es imposible ya que $g_1 = \min\{g_1,g_2, g_3\}$ y así
$U(g_2)-U(g_1) >0$ y $U(g_3)-U(g_1) >0$ .
Así que asumiendo $U(CE) < U(g_1)$ nos llevó a una situación imposible, y por lo tanto no puede sostenerse.
Intuitivamente, el peor Por lo tanto, para un agente racional, aunque tenga aversión al riesgo, sería irracional aceptar menos que el peor resultado, ya que en ese caso ciertamente peor que estar en la apuesta. Obsérvese que la "aversión al riesgo" no no significa "quitar tous riesgo en tous costes".
La lotería que muestras equivale a tener dos loterías, una en la que te toca \$50 con certeza y otra con los siguientes pagos:
La primera lotería tiene una certeza equivalente a \$50. The second lottery has no negative payoffs and so shouldn't ever have a negative price. Therefore the certainty equivalent must be $ \geq 50$.
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