Mi pregunta es la siguiente: No consigo demostrar que, en el modelo de Black-Scholes, las opciones Gamma de signo único tienen valores que son monotónicos en la volatilidad. Busco una demostración exhaustiva y general, ya que sé demostrarlo para las opciones vainilla.
Respuestas
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Considere cualquier opción, vainilla o exótica. Entre las fechas de fijación satisface la EDP de Black & Scholes (para simplificar el tipo de interés cero y los dividendos) $$ \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t)+\frac{\partial U}{\partial t}(S,t)=0 $$ Dejemos que ${\cal V}(S,t) = \frac{\partial U}{\partial \sigma}(S,t)$ sea la vega de la opción. Diferenciando la EDP de la BS wrt $\sigma$ se obtiene $$ \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 {\cal V}}{\partial S^2}(S,t)+\frac{\partial {\cal V}}{\partial t}(S,t)+\sigma S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t)=0 $$ Así que ${\cal V}(S,t)$ también satisface la EDP BS, con un pago continuo $\sigma S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t)$ . También ${\cal V}(S,t)$ es continua con respecto al tiempo en cada fecha de fijación (las fijaciones no dependen de $\sigma$ ), por lo tanto ${\cal V}(S_0,0)$ es la expectativa de la retribución continua $\sigma S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t)$ Es decir, $T$ siendo el vencimiento final de la opción, $$ {\cal V}(S_0,0) = \mathbb{E}\left[\int_0^T \sigma S_t^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S_t,t) dt \right] $$ Por lo tanto, si la gamma es $> 0$ en todas partes, entonces la vega es $> 0$ . Es fácil de adaptar al caso de los tipos no nulos y de los dividendos.
Añadido el 8 de abril de 2021: Diferenciando dos veces la EDP de la BS en relación con $S$ vemos que la gamma del dólar $\gamma(S,t) = S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t)$ también satisface la BS PDE $$ \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 \gamma}{\partial S^2}(S,t)+\frac{\partial \gamma}{\partial t}(S,t)=0 $$ entre las fechas de fijación. Si la opción es vainilla, de modo que no hay fechas de fijación intermedias, esto demuestra que $\gamma(S_t, t)$ es una martingala y recuperamos la conocida fórmula para las opciones vainilla $$ {\cal V}(S_0,0) = T \sigma \gamma(S_0, 0) $$
steven Teal
Puntos
81
Daré una "prueba" heurística para las afirmaciones generales europeas que hará que los matemáticos se sientan mal, pero con la que los físicos / profesionales probablemente estarían bastante contentos de trabajar:
Escriba la EDP de Black-Scholes como $$ \frac{\partial F}{\partial\tau}(\tau) = \mathcal{A} F(\tau) $$ con $\tau = T- t$ y el operador $\mathcal A$ se define como $$ \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 }{\partial S^2} + (r-q) S \frac{\partial }{\partial S} - r $$
La solución formal de la EDP es $$ F(\tau) = e^{\tau \mathcal A} F(0) $$ donde $F(0)$ es el pago de la demanda.
Podemos tratar $e^{\tau \mathcal A}$ como un operador que depende de los parámetros constantes ( $\sigma$ , $r$ , $q$ ). Por lo tanto, diferenciemos ambos lados de la solución formal de la EDP BS con respecto al parámetro $\sigma$ :
\begin{align} \frac{\partial F}{\partial \sigma} (\tau) &= \left(\frac{\partial e^{\tau \mathcal A}}{\partial \sigma} \right) F(0) \\ &= \tau\sigma S^2 \frac{\partial^2 }{\partial S^2}( e^{\tau \mathcal A} F(0)) \\ &= \tau\sigma S^2 \frac{\partial^2 F }{\partial S^2}(\tau) \end{align}
Con un poco más de trabajo lo anterior también se puede hacer si los parámetros no son constantes, sino funciones deterministas del tiempo.
EDIT: Acabo de ver la buena respuesta de Antoine más abajo. Mi respuesta debe ser tratada como un atajo intuitivo, la respuesta de Antoine es la más rigurosa y por lo tanto la que debe ser aceptada por el OP.
