Demostración de la existencia de un equilibrio de Nash en estrategia pura

Question

Considere un juego con $N$ jugadores, cada uno indexado por $i=1,...,N$ . Cada jugador $i$ tiene que elegir un $J\times 1$ vector de acciones $a_i\equiv (a_{i,1},...,a_{i,J})$ donde cada $a_{i,j}$ puede ser cero o uno . Para cada jugador $i$ , dejemos que $a_{-i}$ denotan las acciones de los otros jugadores.

La retribución de cada jugador $i$ es $$ u_i(a_i, a_{-i}; \theta)+v_i(a_i; \delta) $$ donde $u_i$ y $v_i$ son algunas funciones paramétricas del parámetros $\theta$ y $\delta$ . Además $v_i$ es monótona decreciente en $\sum_{j=1}^J a_{i,j}$ .

Un equilibrio de Nash de estrategia pura (PSNE) del juego es $a^*\equiv (a_1^*,...,a_N^*)$ resolver $$ a_i^*\in \arg\max_{a_i\in \{0,1\}^J} u_i(a_i, a^*_{-i}; \theta)+v_i(a_i; \delta) \quad \forall i=1,...,N $$

Pregunta: Supongamos que soy capaz de demostrar que existe un PSNE para $\theta=\theta_0$ y $\delta=\delta_0$ donde $\theta_0$ y $\delta_0$ son algunos valores reales específicos de los parámetros $\theta$ y $\delta$ . ¿Puedo concluir que existe un PSNE para $\theta=\theta_0$ y cualquier valor de $\delta$ ?

En particular, en este caso, me pregunto si la reclamación puede derivarse del hecho de que $v_i(a_i; \delta)$ entra de forma aditiva, no depende de $a_{-i}$ y es monótona.

Answer 1

No. Considera el juego de emparejar centavos $$ \begin{array}{c |c} & H & T & \\ \hline H & (1,-1) & (-1,1)\\ T & (-1,1) & (1,-1)\\ \end{array} $$ que sabemos que no existe ningún PSNE.

Definir la función $v_i(\cdot,\cdot)$ por $$ v_i(H,0) = 5 \\ v_i(x,y) = 0 \quad \forall (x,y) \not = (H,0) $$

En $\delta = 0$ Tenemos el juego $$ \begin{array}{c |c} & H & T & \\ \hline H & (5,4) & (-4,1)\\ T & (-1,5) & (1,-1)\\ \end{array} $$ que tiene un PSNE de $(H,H)$ .

Para cualquier otro valor de $\delta$ , volvemos al juego original por lo que no existe el PSNE.

Redefinir $H = 0, T = 1$ y tienes tu requisito de disminución monótona.

Answer 2

Parece que esta clase de juegos es muy general. (O no entiendo la definición.) Obsérvese que $\theta$ ni siquiera se utiliza, es sólo un parámetro que tiene valor $\theta_0$ en todo.

Mientras existan dos juegos $G_{\delta}$ y $G_{\delta_0}$ , ambos tienen el mismo número de jugadores $J$ cada jugador tiene dos estrategias en ambos $G_{\delta}$ y $G_{\delta_0}$ y $G_{\delta}$ tiene un equilibrio de Nash pero $G_{\delta_0}$ no lo hace, entonces se puede obtener la negación definiendo $$ v(a; \delta_0) := u_{\delta_0}(a) - u_{\delta}(a) $$ donde $u_{\delta}$ es el vector de pagos en $G_{\delta}$ y $u_{\delta_0}$ es el vector de pagos en $G_{\delta_0}$ perfil de estrategia dado $a$ .

Sigue existiendo la posibilidad de que todos los juegos o ninguno tengan un equilibrio de Nash, pero esto no es cierto en la clase de estos juegos de dos estrategias por jugador, como demuestra el subastador walrasiano responder .