¿Relación entre la ecuación de euler de consumo y la lagrangiana?

Question

Creo que la mejor manera de plantear mi pregunta sería empezar con un ejemplo.

Supongamos que los consumidores tienen un horizonte de dos períodos y su utilidad instantánea es: $\:$

$U(C_{t})=ln \: C_{t}$

$\:$

Dónde $C_{t}>0$$\:$ denotes consumption. Assume that agents supply a fixed amount of labour $L$ and have no initial bonds $B$ or capital $K$. Agents discount utility of the second period with the discount factor $1> \beta >0$. $\:$

La restricción presupuestaria es: $\:$

$C_{1}+\frac{C_{2}}{1+r_{1}}$ = $\:$ $(w/P)_{1}$$L$ $\:$ + $\frac {(w/P)_{2}L}{1+r_{1}}$ $\:$

El Lagrangiano es: $\:$

$\mathcal L = \ln C_1 + \beta \ln C_2 - \mu \left[ C_1 + \frac{C_2}{1+r_1} -(w / P)_{1} L - \frac{(w/P)_{2}L}{1+r_{1}} \right]$

Ahora tengo dos preguntas:

1. Suponiendo que calcule los FOC correctos, ¿cómo puedo derivar la ecuación de Euler del consumo? $\:$

2. ¿Podrían ayudarme con el formato de mi lagrangiano? Quiero que los paréntesis cuadrados sean lo suficientemente grandes como para encapsular todo. $\:$

Gracias.

Answer 1

En este sencillo problema, utilizar un Lagrangean es una exageración, quizás sea mejor la sustitución directa de la restricción.

En cualquier caso, tratando los dos niveles de consumo como dos variables de decisión distintas bajo la restricción presupuestaria, la ecuación de Euler surge de la combinación de las dos condiciones de primer orden:

$FOC$ 's

$$\frac {\partial \mathcal L}{\partial C_1} = 0 \Rightarrow \frac 1{C_1} = \mu$$

$$\frac {\partial \mathcal L}{\partial C_2} = 0 \Rightarrow \frac {\beta}{C_2} = \mu\frac {1}{1+r_1}$$

Sustituye la primera por la segunda

$$\frac {\beta}{C_2} = \frac 1{C_1}\frac {1}{1+r_1}$$

reordenar y ya está.

Yo sugeriría hacerlo también con una función de utilidad general, donde en la ecuación de Euler aparecerán las primeras derivadas de la utilidad.

Answer 2

$\mathcal L = \ln C_1 + \beta \ln C_2 - \mu \left[ C_1 + \frac{C_2}{1+r_1} -(w / P)_{1} L - \frac{(w/P)_{2}L}{1+r_{1}} \right]$

$\frac {\partial \mathcal L}{\partial C_1}=\frac 1{C_1} - \mu = 0$

$\frac {\partial \mathcal L}{\partial C_2}= \frac{\beta}{C_2} - \mu\frac {1}{1+r_1}=0$

$\frac {\partial \mathcal L}{\partial \mu}= C_{1}+\frac{C_{2}}{1+r_{1}}-(w/P)_{1}L-\frac{(w/P)_{2}L}{1+r_{1}}=0$

Estas condiciones caracterizan un máximo ya que la condición de segundo orden $\frac {\partial \mathcal (ln \ C_{1} + \beta \ ln \ C_{2})}{\partial^{2} C_{1}}$ es negativo.

Sustituye el primer FOC por el segundo y obtienes:

$C_{2} = \beta(1+r_{1})C_{1}$