Notaciones matemáticas que nunca entiendo al leer artículos o disertaciones

Question

Tengo algunos problemas cuando leo las notaciones matemáticas. Por ejemplo:

$$\mathrm{E}_{0}\left\{\sum_{\mathrm{t}=0}^{\infty} \beta^{t}\left[\mathrm{u}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{t}}, \mathrm{M}_{\mathrm{t}} / \mathrm{P}_{\mathrm{t}} ; \xi_{\mathrm{t}}\right)-\int_{0}^{\mathrm{1}} \mathrm{v}\left(\mathrm{h}_{\mathrm{t}}(\mathrm{i}) ; \xi_{\mathrm{t}}\right) \mathrm{di}\right]\right\}$$ Se trata de una ecuación de optimización para el agente representativo de una economía. El problema aquí es maximizar esta fórmula donde

\begin {alineado} & \mathrm {E}_{0}= \text {valor esperado en el periodo 0} \\ & \mathrm {C}_{ \mathrm {t}}= \text { índice de consumo de los hogares de los bienes suministrados en el período t} \\ & \mathrm {P}_{ \mathrm {t}}= \text {índice de precios de los bienes suministrados en el periodo t } \\ & \mathrm {M}_{ \mathrm {t}}= \text {saldos monetarios nominales en el período t } \\ & \mathrm {h}_{ \mathrm {t}}( \mathrm {i})= \text {cantidad de mano de obra de tipo i suministrada en el periodo t} \\ & \xi_ {t}= \text { vector de choques agregados en el período t} \\ & \mathrm {u}(.)= \text { utilidad en el periodo } t \\ & \mathrm {v}(.)= \text { desutilidad en el periodo } \mathrm {t} \\ & \beta ^{ \mathrm {t}}= \text { factor de descuento para el periodo } \mathrm {t} \end {alineado} 1- En primer lugar, no entiendo la $\xi_{t}$ notación en $\mathrm{u}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{t}}, \mathrm{M}_{\mathrm{t}} / \mathrm{P}_{\mathrm{t}} ; \xi_{\mathrm{t}}\right)$ . ¿Significan los dos puntos aquí que esta notación vectorial puede afectar al comportamiento de la ecuación excepcionalmente, pero las otras variables la afectan todo el tiempo? Si ya hubiera un shock positivo o negativo, entonces u y v se verán afectados a través de los precios y los salarios. ¿Por qué debemos utilizar este vector aquí?
2- ¿Por qué necesitamos tomar la integral de la función de desutilidad, pero no necesitamos tomar la integral de la función de utilidad?
3- No hay suficientes explicaciones para los novatos en los artículos de economía matemática, y no puedo encontrar un libro de texto para este tema. He estudiado la Microeconomía Intermedia de Varian, pero no hay ningún capítulo para esto. Busqué los libros que recomendaban aquí pero de nuevo no hay ningún capítulo. ¿Hay algún libro que cubra todas las soluciones matemáticas clásicas y las explique en detalle para la economía?

Answer 1

1. El uso de ; no siempre está estandarizado por lo que puede depender de la fuente. En este caso supongo que has tomado la ecuación de Interest and Prices: Foundations of a Theory of Monetary Policy de Woodford (o de alguna fuente que utilizara exactamente la misma notación), ya que aparece exactamente la misma expresión con todos los nombres de las variables idénticos en la página 141 (sin embargo, en el futuro deberías indicar la fuente).

   Basado en el uso a través del libro el autor utiliza el ; para separar las variables y los parámetros de choque. Por lo tanto, es sólo para indicar que el $\xi$ no es una variable sino que viene dada por los parámetros de choque de la economía.

2. Porque los argumentos de $u$ ya están agregados. $C_t$ es un índice de consumo agregado basado en el agregador de elasticidad de sustitución constante:

$$ C_t \equiv \left( \int_0^1 c_t(i)^{(\theta-1)/ \theta}di \right)^{\theta/(\theta-1)} $$

y el nivel de precios $P$ es de nuevo el índice de precios agregados:

$$P_t \equiv \left( \int_0^1 p_t(i)^{1-\theta} di \right)^{1/(1-\theta)}$$

Así que ya hay integral sobre todos los bienes dentro de la utilidad. El autor sólo lo ha escrito así para "limpiar" la expresión. Siempre se puede hacer eso por sustitución, se podría limpiar aún más diciendo que $V(\cdot) = \int_0^1 v\left( h_t(i) ; \xi_{t} \right) di$ y entonces podrías incluso escribirlo en una sola ecuación sin ninguna integral (esto es realmente más o menos una cuestión de estética/tratando de hacer tu trabajo fácilmente legible).

3. ¿Existe algún libro que abarque todas las soluciones matemáticas clásicas y las explique en detalle para la economía?

No hay ningún libro que cubra todo soluciones matemáticas en economía. Sería el libro más largo de la historia y probablemente se necesitaría un camión para trasladarlo. Sin embargo, hay libros de texto útiles que cubren la mayoría de los modelos más importantes en cada campo.

Intermediate Microeconomics de Varian es un libro de pregrado, así que por supuesto no está al mismo nivel. Si te interesa la microeconomía, los mejores textos son la teoría microeconómica de MWG o el análisis microeconómico de Varian (el primero es bastante exhaustivo, es un libro muy grueso).

Sin embargo, basándome en el modelo anterior, supongo que está interesado en la macroeconomía. Para ello, Romer Advanced Macroeconomics es un manual estándar para graduados. Sin embargo, incluso en este caso dependerá en gran medida del campo exacto que desee estudiar. Si te interesa únicamente el crecimiento económico, Economic Growth de Barro y Sala-i-Martin es mucho mejor que Romer, que es un manual más general. Si está interesado en el ciclo económico, el ya mencionado Interest and Prices de Woodford es una fuente excelente. Si le gusta la teoría monetaria, Monetary Theory and Policy de Carl E. Walsh es un texto clásico.