Si todas las curvas de indiferencia son líneas paralelas, entonces la preferencia tiene representación lineal

Question

Dada una relación de preferencia continua$\succeq$ sobre$X=\mathbb{R}^2_{+}$ donde todos los conjuntos: $$ I_x \ equiv \ {y \ en X: y \ sim x \} $$ son líneas en$X,\forall x\in X$ y son paralelas a$I_y,\forall y\notin I_x$.

¿Cómo puedo demostrar que$\succeq$ tiene una representación lineal?

Parece intuitivo que si cada curva de indiferencia es una línea, entonces la utilidad misma debe ser una línea, pero no estoy seguro de cómo volver a ella. ¿Alguien estaría dispuesto a ayudarme?

¡Gracias! ¡Se agradece cualquier consejo útil! :D

Answer 1

Las curvas de indiferencia se construyen considerando la función de utilidad como una ecuación (para un valor de índice de utilidad fijo por curva). Entonces de

PS

donde el lado izquierdo es solo un símbolo, nos movemos a

PS donde ahora el lado izquierdo es un número específico.

Tome el diferencial total en ambos lados para obtener

PS

Cualquier línea recta en el plano bidimensional tiene una pendiente constante, por lo que también

PS

Lo mismo para$$U = U(x_1,x_2)$ - paquete. Etc.