¿El muestreo aleatorio provoca una media condicional cero?

Question

En los apuntes de mi clase de economía del desarrollo, se dice que

" En el modelo de regresión : Yi = 0 + 1Xi + ui,

si Xi se asigna al azar, entonces Xi es independiente de ui, es decir, E(ui|Xi) = 0, por lo que OLS produce un estimador insesgado de 1".

Y el profesor dice lo mismo en la grabación de su conferencia.

Realmente no entiendo esta afirmación, porque en econometría (parte de regresión lineal) pensaba que el muestreo aleatorio y la media condicional cero (E(ui|Xi) = 0) eran dos supuestos distintos lo que condujo a la teoría del estimador insesgado OLS, no afectando uno a otro.

Pero la nota de la conferencia dice que el muestreo aleatorio causa media condicional cero, en lugar de mi noción anterior de que los dos son supuestos separados que se utilizan juntos para derivar la insesgadez.

¿Es correcta la nota de la conferencia en el sentido de que el muestreo aleatorio realmente causa ¿media condicional cero? Si es así, ¿podría alguien explicarme por qué es así en lugar de ser dos supuestos distintos como se indica en un libro de texto estándar de econometría?

El muestreo aleatorio hace que la muestra Xi s para ser iid pero eso todavía no tiene nada que ver con ui y pensé que por eso se añadía el supuesto adicional de media condicional cero para garantizar la insesgadez del MCO. Agradecería que alguien me dijera qué es lo que intenta decir aquí la nota de cátedra.

Answer 1

El $E(u_i|X_i) = 0$ puede mantenerse incluso sin tener una muestra aleatoria simple o una asignación aleatoria. Sin embargo, la asignación aleatoria garantiza esto se mantendrá (en las expectativas). Una violación de $E(u_i|X_i) \neq 0$ suele ser consecuencia del sesgo de las variables omitidas. Por ejemplo, en la regresión de la educación sobre los salarios la razón por la que $E(u_i|X_i) \neq 0$ puede ser que la experiencia también afecte a los salarios y si las personas con diferente formación tienen diferente experiencia, esto se traducirá en $E(u_i|X_i) \neq 0$ .

Asignación aleatoria de $X$ resuelve este problema. Por ejemplo, consideremos $X_i$ para ser el estado del tratamiento $X_i = \{0,1\}$ siguiendo a Angrist y Pischke Mostly Harmless Econometrics. Ahora dejemos que $Y_{i}$ ser el resultado potencial basado en $X_i$ para que tengamos:

$$ Y_i \begin{cases} Y_{1i} \text{ if } X_i=1 \\[2ex] Y_{0i} \text{ if } X_i=0 \end{cases} $$

En consecuencia, los resultados observados vendrán dados por:

$$Y_{i} = \underbrace{Y_{0i}}_{\beta_0 } + \underbrace{(Y_{1i}-Y_{0i})}_{\beta_1}X_i\tag{1} $$

Ahora lo anterior en notación de expectativas implica que:

$$\underbrace{E[Y_i | X_i = 1] - E[Y_i | X_i = 0]}_{\text{observed difference}} = \underbrace{E[Y_{1i} | X_{i} = 1] - E[Y_{0i} | X_i = 0]}_{\text{Average treatment Effect on Treated}} + \underbrace{E[Y_{0i} | X_{i} = 1] - E[Y_{0i} | X_i = 0]}_{\text{Selection Bias}} \tag{2}$$

La presencia de un sesgo de selección provocaría $E(u_i|X_i) \neq 0$ .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que si utilizamos la asignación aleatoria de $X_i$ elimina el problema ya que hace $X_i$ independientemente de los posibles resultados. Si son independientes, entonces $E[Y_{0i} | X_i = 1] = E[Y_{0i} | X_i = 1]$ . Sustituyendo esto por el 2 obtenemos:

$$E[Y_i | X_i = 1] - E[Y_i | X_i = 1]= E[Y_{1i} | X_{i} = 1] - E[Y_{0i} | X_i = 1] \\ = E[Y_{1i}- Y_{0i} | X_{i} = 1] \\ = E[Y_{1i}- Y_{0i}] .$$

Esto elimina el sesgo de selección y garantiza $E(u_i|X_i) = 0$ (aunque hay que tener en cuenta que la asignación aleatoria no es una bala de plata, ya que podría haber varias cuestiones diferentes que todavía).