Estoy pensando en escribir una tesis de maestría sobre la fijación de precios de las opciones utilizando procesos de Levy, pero me pregunto si estos procesos se utilizan realmente para modelar los precios de las acciones o no (y cuáles específicamente). Y si no, ¿cuáles se utilizan?
Además, me pregunto si es difícil implementar el código correcto en Python o se puede hacer con pocos conocimientos de programación.
¿Y qué libro / blog recomiendas sobre Python en las finanzas?
Te doy un breve resumen sobre algunas propiedades clave de Procesos de Lévy .
Los procesos de Lévy tienen incrementos estacionarios e independientes, pero no necesariamente tienen trayectorias muestrales continuas. De hecho, el movimiento browniano es el único proceso de Lévy con trayectorias muestrales continuas. Algunos procesos de Lévy (por ejemplo, el proceso de Poisson) tienen saltos únicos, raros pero grandes ( actividad finita ) mientras que otros saltan infinitamente durante cualquier intervalo de tiempo finito. Estos procesos sólo se mueven de facto a través de (pequeños) saltos ( infinito activo ).
En general, los procesos de Lévy tienen tres componentes ( Lévy o triplete característico ):
( $\to$ Descomposición de Lévy-Itô )
Esto también apunta al hecho de que todos los procesos de Lévy son semimartingales . Así, siguiendo la teoría general de integración estocástica de Itô, podemos dar sentido a términos como $\mathrm{d}X_t$ y $\int_0^t Y_s\mathrm{d}X_s$ para un proceso adecuado $Y_t$ y cualquier proceso de Lévy $X_t$ .
Una buena forma de pensar en los procesos de Lévy son procesos de cambio de tiempo . Tomemos como ejemplo el proceso de varianza gamma. Se puede definir ese proceso dando explícitamente sus componentes de tendencia/volatilidad/salto o se toma un simple movimiento browniano aritmético $X_t=\theta t+\sigma W_t$ y un proceso Gamma $\gamma_t$ . Entonces, el proceso $X_{\gamma_t}=\theta\gamma_t+\sigma W_{\gamma_t}$ es un proceso gamma de varianza. En general, se puede utilizar un proceso para alterar el ``tiempo'' de otro proceso ( $\to$ subordinación ). Los procesos generales de Lévy con cambios en el tiempo pueden captar los grupos de volatilidad y el efecto de apalancamiento, pero siguen siendo razonablemente manejables. En cierto modo, combinan los procesos de Lévy con las ideas de la volatilidad estocástica. Intuitivamente, se puede pensar en el tiempo de calendario (utilizando $t$ como tiempo) y tiempo de trabajo (utilizando $\gamma_t$ como el tiempo) como dos cosas diferentes. Así, los procesos que cambian en el tiempo se basan en la actividad comercial (por ejemplo, la llegada de operaciones). La intuición viene dada por la propiedad de escalado del movimiento browniano: $\sqrt{c}W_t \overset{\mathrm{Law}}{=}W_{ct}$ para cualquier $c>0$ . Así, los cambios en el tiempo dan lugar a cambios en la escala del movimiento browniano. En este sentido, un cambio de tiempo provoca cambios en las varianzas (aleatorias), etc.
Los procesos de Lévy no son procesos triviales. A menudo no tienen una densidad de transición en forma cerrada. En cambio, la función característica es muy sencilla para los procesos de Lévy ( $\to$ Fórmula de Lévy-Khintchine ). Por lo tanto, la valoración de las opciones suele realizarse mediante los métodos de Fourier: los precios de las opciones son iguales a las expectativas descontadas con respecto a la densidad neutra del riesgo. Se puede cambiar ese dominio en un dominio de Fourier integrando la función característica en su lugar. El mismo truco se utiliza para los modelos de volatilidad estocástica.
Los precios de las acciones suelen modelarse en forma de procesos exponenciales de Lévy Así que se establece $S_t=S_0e^{X_t}$ , donde $X_t$ es un proceso de Lévy y $S_0>0$ . Esto garantiza la positividad. Para obtener una martingala después de descontar, por supuesto hay que corregir la deriva. He aquí algunos procesos de Lévy exponenciales comunes utilizados en finanzas:
El primero es el único con trayectorias de muestra continuas. Los números 2 y 3 son los únicos modelos de actividad finita con saltos en esa lista. Para tu tesis, yo me fijaría especialmente en El modelo de Kou porque es muy manejable y se puede calcular el precio de muchos derivados fácilmente. En el lado activo infinito, creo que VG y CGMY (su generalización) son los más populares.
Si quieres un libro sobre procesos de Lévy, te recomiendo ``Financial Modelling with Jump Processes'' de Cont y Tankov. Está muy bien escrito.
Si comienza con la fijación de precios de las opciones de estilo europeo, no necesitará mucha programación. Una función que dé salida a la función característica y una segunda función que realice la integración numérica (que probablemente ya esté incorporada). Eso es todo lo que necesitas. Así que esa no debería ser la parte más difícil de tu tesis:) Ten en cuenta que las funciones características son honestamente bastante simples. Con respecto a Métodos de Fourier en la valoración de opciones Hay un par de enfoques
Como los procesos de Lévy tienen incrementos independientes, no pueden modelar grupos de volatilidad. Sin embargo, pueden incorporar fácilmente colas gruesas. Los procesos de Lévy con cambios en el tiempo no son necesariamente procesos de Lévy en sí mismos y pueden incorporar la volatilidad estocástica y la asimetría entre la volatilidad y los cambios en la rentabilidad.
@Micheal12 Yo, por cierto, escribí mi propia tesis de maestría sobre procesos de Lévy, ¡buena suerte con la tuya!
Realmente es un buen resumen. Nunca entendí el método habe cos. El papel F / O es bueno, ¿dices?
No puedo hablar específicamente de los modelos de fijación de precios de las acciones, pero en el ámbito de las divisas la lista por orden de uso va:
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Recientemente ha habido cierto interés por los modelos de volatilidad aproximada (movimiento browniano fraccionario) y su calibración mediante redes neuronales. Según el libro, hay que empezar con los de Yves Hilpisch. En general, todos los modelos son demasiado simples para describir completamente el mercado de valores. Pero el propósito de los modelos es permitir una calibración parsimoniosa de los parámetros, no un significado económico complejo de varias variables. Si usas Python, simula tu SDE con el esquema de discretización de Euler-Maruyama y calíbralo con Keras.
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En concreto, Python for Finance de Hilpisch es bueno. Tiene exactamente lo que necesitas. A menos que vayas por el camino de las redes neuronales, entonces dejaré la recomendación a otros ya que no estoy tan avanzado en ese aspecto.