La Ley de Walras vs. la Ley de Say: ¿Existe alguna diferencia?

Question

He estado revisando el concepto de Ley de Walras y a menudo se hacen referencias a la Ley de Say. He escuchado y he visto en línea que en realidad son lo mismo, sin embargo al mirar las definiciones noto una diferencia común.

Ley de Walras:
“Para cualquier vector de precios $p$, tenemos $()0$; el valor de la demanda excedente es identicamente cero.”

Donde la demanda excedente $z(p)$ se define como: $$z(p)=\sum_{i=1}^n(x_i(p,m)-\omega_i)$$ donde $x_i(p,m)$ es nuestra demanda de Marshall para el bien $i$ y $\omega_i$ es la dotación inicial del bien $i$.

Por otro lado,

Ley de Say:
"la producción agregada crea necesariamente una cantidad igual de demanda agregada" (de Wikipedia).

o $$Q_s(p)=Q_d(p)$$

¿Sería seguro afirmar que la Ley de Walras hace referencia solo a la demanda de consumidores (que se transfiere a través de un mercado y no es "consumida" por las propias empresas a través de inversión en inventario), mientras que la Ley de Say es una afirmación sobre la demanda tanto de consumidores como de productores, independientemente de si va de los productores a los consumidores o de los productores de vuelta a ellos mismos en forma de inversión en inventario?

La justificación de este argumento proviene del hecho de que consideramos la inversión en inventario un elemento de la demanda, aunque no cambie de manos en un mercado.

Answer 1

La forma en que has definido la demanda excesiva, es solo la demanda excesiva del consumidor. Pero la ley de Walras se cumple en cualquier economía de propiedad privada a todos los precios (en los que la demanda y la oferta están bien definidas). La ley de Walras es básicamente equivalente a los consumidores gastando totalmente su presupuesto.

Supongamos que hay $l$ commodities, por lo que cada paquete de productos es un elemento de $\mathbb{R}^l$. Hay $m$ consumidores y $n$ empresas. El conjunto de planes de producción que la empresa $j$ puede producir en términos de producción neta es $Y_j$. Con esta convención, si $p\in\mathbb{R}^l$ es el sistema de precios y $y\in Y_j$ es un plan de producción, $p\cdot y=\sum_{k=1}^l p_k y_k$ es la ganancia resultante. Cada consumidor tiene una dotación $\omega_i\in\mathbb{R}^l$ y una participación (potencialmente cero) $\theta_{ij}$ en la empresa $j$ y la ganancia resultante. Cada empresa es de propiedad privada, por lo que las participaciones de cada empresa suman uno, $\sum_{i=1}^m\theta_{ij}=1$.

En el sistema de precios $p$, el presupuesto de cada consumidor es $p\cdot \omega_i +\sum_{j=1}^n \theta_{ij} p\cdot y_j$. Si el consumidor $i$ demanda $x_i$ y gasta todo su presupuesto, tenemos $p\cdot x_i=p\cdot \omega_i +\sum_{j=1}^n \theta_{ij} p\cdot y_j$. Sumando todo y utilizando que los precios son lineales, $$p\cdot\sum_{i=1}^m x_i=p\cdot\sum_{i=1}^m\omega_i+p\cdot \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n \theta_{ij}y_j$$ $$=p\cdot\sum_{i=1}^m x_i=p\cdot\sum_{i=1}^m\omega_i+p\cdot \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m \theta_{ij}y_j$$ $$=p\cdot\sum_{i=1}^m x_i=p\cdot\sum_{i=1}^m\omega_i+p\cdot \sum_{j=1}^ny_j$$ $$=p\cdot\bigg(\sum_{i=1}^m x_i-\sum_{i=1}^m\omega_i-\sum_{j=1}^ny_j\bigg)=0,$$ entonces el valor de la demanda excesiva agregada es cero y se cumple la ley de Walras. Pero nada en el argumento requiere que los precios limpien los mercados para que la oferta iguale a la demanda, $$\sum_{i=1}^m x_i-\sum_{i=1}^m\omega_i-\sum_{j=1}^ny_j=0.$$ Lo último es claramente una condición suficiente para que la demanda excesiva tenga un valor de cero, pero está muy lejos de ser necesario.

La ley de Walras es un resultado demostrable bajo algunas suposiciones estándar (que garantizan que los consumidores gastan todo su presupuesto), pero la ley de Say no es un resultado formal de ninguna manera.