Diferentes tipos de swaps y estructura de precios generalizada - swap de correlación, swap de varianza, swap de volatilidad, swap de gamma, etc.

Question

Soy muy nuevo en la fijación de precios de los derivados, y actualmente estoy tratando de aprenderlos por mi cuenta.

Hasta donde yo sé, la mayoría de los derivados que son simples (en el sentido de tener un strike constante que es lineal con respecto al subyacente en su relación), las opciones pueden tener un precio como:

$$ (S_T - K)^+ $$

para una opción de compra, y al revés para una opción de venta $(K - S_T)^+$ Por decirlo de forma muy sencilla (en el caso de las opciones de estilo europeo).

Ahora bien, los swaps (de forma general y conceptual) son similares, en el sentido de que hay un strike y un subyacente que determina el payoff. Ahora bien, además de esto, los swaps suelen tener el pago de

$$ N (S - K) $$

donde $N$ es el nocional. Ahora bien, esto significa que para los swaps como el swap de varianza, el swap de volatilidad y el swap de correlación, se cumple lo siguiente:

intercambio de desviaciones : $$ N_{\text{var}} (\sigma^2_{\text{realized}} - \sigma^2_{K}) $$

intercambio de volatilidad : $$ N_{\text{vol}} (\sigma_{\text{realized}} - \sigma_{K}) $$

intercambio de correlación : $$ N_{\text{corr}} (\rho_{\text{realized}} - \rho_{K}) $$

swap de tipos de interés : $$ N (r_{\text{fixed}} - r_{\text{float}}) $$

donde el $K$ en cada swap indica el activo de ataque correspondiente (varianza/volatilidad/correlación/etc.). Esto es válido en general para la mayoría de los productos de swap, o incluso para cada subsección o tramo de un swap de incumplimiento crediticio.

Ahora bien, me gustaría saber si existe algún tipo de teoría o concepto global que pueda derivarse para los derivados tipo swap, y si existe una fórmula paramétrica similar de tipo plug-and-chug para los swaps en general (como ocurre con las opciones a través del Black-Scholes). No parece ser el caso, ya que la valoración de los swaps parece depender del subyacente (correlación, volatilidad, varianza, diferencial de tipos de interés, etc.).

¿Existen enfoques heurísticos que proporcionen un marco general para la fijación de precios de los swaps, o hay que hacerlo caso por caso en función del subyacente?

Answer 1

Para Intercambios de desviaciones (y Vol swaps con algunas salvedades), el modelo de Black Scholes es la principal herramienta utilizada para la fijación de precios. Sólo que es menos evidente.

Utilizando su ejemplo, las opciones tampoco tienen precio con S-K o K-S. Eso es simplemente una expresión algebraica de partes del contrato. La fijación de precios implica encontrar un valor para esto.

No hay ninguna hipótesis sobre la configuración de los precios o incluso el numerario. Por lo tanto, no se puede utilizar simplemente Black Scholes. Depende en gran medida del subyacente la forma en que se fije el precio. ¿Se trata de una acción, un índice, una materia prima (sobre todo futuros), un tipo de cambio, un bono? O cualquier otro subyacente que se le ocurra. ¿La acción paga dividendos? En el caso de los tipos de cambio, ¿en qué divisa está el nocional y la prima ( Garman Kohlhagen asume la noción en ccy1 y la prima en ccy2, todo lo demás requiere (simple) ajustes a la fórmula).

Al igual que las opciones, en las que se tiene el precio subyacente frente a un precio de ejercicio, todos los swaps comparten un resultado común, intercambian flujos de efectivo (nota al margen, un swap de CDS es un nombre un poco erróneo, ya que en realidad son opciones desde una perspectiva de precios, con pagos por adelantado).

En general, con los swaps se distingue la fijación de precios de la valoración:

• la fijación de precios implica la determinación del precio (o tipo) adecuado al iniciar el contrato, lo que hace que el swap tenga normalmente un coste cero al iniciarse
• la valoración implica determinar el valor adecuado del compromiso (normalmente después de que se haya iniciado)

En el caso de los swaps IRS vanilla fixed float, el tipo de swap a la par es el cupón de un swap de tipos de interés que hace que el valor de mercado del swap sea igual a cero (el tipo fijo que hace que el valor del tramo fijo sea igual al valor del tramo flotante).

En el caso de los swaps de varianza, el tipo de interés justo es tal que el contrato también es cero al inicio.

Sin embargo, eso es todo lo que hay en común.

Los IRS necesitan curvas de tipos de interés construidas a partir de instrumentos (efectivo, FRA o futuros y swaps) para poder cotizar y valorar correctamente. Esencialmente, se necesitan factores de descuento y tipos de interés a plazo, pero el proceso real de construcción de curvas es muy complicado, y hoy en día suele implicar la extracción simultánea de múltiples curvas. La selección de curvas y otros aspectos similares hacen que esto sea casi más un arte que una ciencia.

Los intercambios de variantes tienen una réplica teórica. Un operador de opciones vainilla que siga una estrategia de cobertura delta está reproduciendo esencialmente el beneficio de un swap de varianza ponderado en el que los rendimientos diarios al cuadrado se ponderan por la gamma del dólar de la opción. Llevando este argumento un paso más allá, se puede demostrar que un swap de varianza justa es igual a la integral de los precios ponderados de las opciones out-of-the-money sobre todos los strikes. Estas ponderaciones son inversamente proporcionales a los strikes al cuadrado, una aplicación de la fórmula de forma cerrada de BlackScholes para la gamma.

Un problema obvio es que los mercados de opciones se componen de un conjunto discreto de precios de opciones para un vencimiento determinado. Por lo tanto, es habitual calcular primero una superficie de vol, normalmente utilizando de nuevo a Black Scholes (ignorando las complicaciones que conlleva la creación de superficies de vol, como la desamericanización de los precios de las opciones, la búsqueda de forwards y dividendos implícitos y similares si pensamos en VS de índices o de acciones, el FX, por ejemplo, suele cotizar en vol, lo que facilita la construcción de la superficie). En la práctica, es posible que también quiera limitar la región de integración (rango de strikes) para evitar problemas con las ponderaciones (especialmente los strikes muy pequeños son una preocupación debido a la ponderación).

Debido a las dificultades prácticas para replicar el pago real del logaritmo a través de las huelgas, el mercado de varswaps de índices de renta variable suele negociarse con una base a la cartera de réplica.

Para los Vol Swaps, las cosas son un poco más complicadas. Simplificando, un Volswap es un varswap - ajuste de convexidad y el ajuste de convexidad se puede replicar con una cartera de opciones sobre var. Así que esencialmente tienes 2 carteras que se replican.

Hay dos documentos de JP Morgan Intercambios de desviaciones y Lo que hay que saber sobre los Swaps de Varianza siendo este último más conciso. Como observación adicional, la forma en que se definen aquí delta y gamma es una simplificación. Sólo funcionará intradía. Lo ideal sería que las griegas se derivaran directamente de la cartera de réplica. Sin embargo, esta descomposición completa no es algo que ofrezcan (muchos) proveedores y que hayan implementado principalmente los bancos de primer nivel.

Hacia una teoría de la negociación de la volatilidad de Peter Carr et al. es probablemente el mejor artículo para leer.

Los intercambios de correlación son una bestia en sí mismos. No puedo comentar mucho sobre ellos, ya que está más allá de mis conocimientos. A menudo se les asigna un precio con MC basado en LV o SLV, pero ninguno de los dos les asigna un precio adecuado por numerosas razones. Hay algunos modelos como Local Vol Local Correlation (LVLC) que pueden ser un poco mejores pero al final del día, estos son muy exóticos. Ya que has escrito que eres muy nuevo en la fijación de precios de los derivados, yo evitaría buscar en ellos el mayor tiempo posible. Lo más probable es que nunca necesites saber lo que pasa aquí (a menos que seas un doctor (en física) contratado específicamente como quant para estos productos). Hay un buen tuitea Me topé con ella hace algún tiempo. Mucha gente tiende a pensar que si una herramienta da un precio funciona (aquí Monte Carlo Local Vol). Sin embargo, eso es un clásico GIGO . El MCLV ni siquiera podrá fijar el precio de un VS vainilla de forma adecuada (la calibración nunca es perfecta; los pasos de tiempo del MC son limitados...).

Answer 2

Creo que el $^+$ fue sólo un error tipográfico. Buena pregunta. Intentaré hacer este punto en el caso de los tipos de interés, pero el argumento es general.

Hasta cierto punto es caso por caso, pero la característica general de un canje es ser feria - es decir, vale la pena $0$ - al inicio, digamos $t=0$ . Esto puede lograrse ajustando a un valor apropiado la tasa fija/vol/var, etc..

Ahora bien, los precios son expectativas (neutrales al riesgo), por lo que la parte fija debe ajustarse a una expectativa de la parte flotante para que el swap sea justo al inicio.

El caso más sencillo es probablemente el de un FRA (un swap de tipos de interés con un único pago si se quiere) que paga el tipo al contado por $S$ leer en $T$ , digamos que $r_{floating}(T,S)$ . La expectativa es bajo la medida de avance $Q^{S}$ asociado a la zcb $P(t,S)$ como numerario (utilizaré en todas partes la notación de Libro Brigo-Mercurio ). De tal manera que, para que la FRA sea justa al inicio

$$ V^{FRA}(0)=0 \iff r_{fixed} = {\mathbb E}^{Q^{S}}[r_{floating}(T,S) | {\mathbb F}_0] = {\mathbb E}^{Q^{S}}[F(T; T,S) | {\mathbb F}_0] = F(0; T,S) $$

donde $F(t; T,S)$ es el tipo de interés a plazo para el período $[T,S]$ . Ahora bien, ¿qué pasaría si usted estuviera a largo plazo en esta FRA (es decir, se comprometiera a pagar $r_{fixed})$ y quiere cerrar esta posición en el momento $t>0$ ? Pues muy fácil, entra en otro FRA en el que se compromete a pagar el tipo flotante. Este segundo FRA también será justo, por lo que tendrá un $r_{fixed}$ se ajusta al tipo de cambio a plazo actual: $F(t; T,S)$ . El resultado $P\&L$ en $t$ de esta estrategia coincide con el valor de la posición larga del FRA original (no es difícil entender por qué, véase El libro de Hull por ejemplo):

$$ V^{FRA}(t)= N P(t,S) \tau(T,S) (F(t; T,S) - F(0; T,S)) $$

es decir, estar largo en un FRA significa estar largo en el tipo de interés a plazo correspondiente.

El argumento puede extenderse a un swap de tipo de interés fijo por variable (IRS), con primera fecha de reajuste $T_{\alpha}$ y la última fecha de pago $T_{\beta}$ . Dejemos que

$$ C_{\alpha, \beta}(t) = \sum_{i=\alpha+1}^{\beta} \tau_i P(t, T_i) $$

sea la cartera de bonos de cupón cero y que

$$ S_{\alpha, \beta}(t) = \frac{P(t,T_{\alpha}) - P(t, T_{\beta})}{C_{\alpha, \beta}(t) } $$

sea el tipo de cambio. Entonces (por ejemplo, evaluando el IRS como una cartera de FRA), el IRS es feria al inicio, siempre que su tipo de interés fijo se establezca en

$$ V^{IRS}(0)=0 \iff r_{fixed} = S_{\alpha, \beta}(0) $$

y tenemos la analogía (sin matemáticas, piensa que $P\&L$ te darías cuenta si estuvieras en un swap pagando el fijo $S_{\alpha, \beta}(0)$ y cerrar la posición en el momento $t>0$ ...)

$$ V^{IRS}(t)= N C_{\alpha, \beta}(t) (S_{\alpha, \beta}(t) - S_{\alpha, \beta}(0)) $$

Una vez más, se puede ver que pagar el tipo fijo significa estar largo un determinado tipo a plazo, el tipo swap a plazo $S_{\alpha, \beta}(t)$ .

Este

pago fijo $\iff $ ser largo el tipo de cambio a plazo

es otra característica común de los swaps, deducida por la equidad al inicio.