Caracterización de un conjunto de resultados que contiene la colección de equilibrios de Nash de estrategia pura

Question

Considere un juego con $N$ jugadores, cada uno indexado por $i=1,...,N$ . Cada jugador $i$ tiene que elegir un $J\times 1$ vector de acciones $a_i\equiv (a_{i,1},...,a_{i,J})$ donde cada $a_{i,j}$ puede ser cero o uno . La retribución de cada jugador $i$ es $u_i(a_i, a_{-i})$ , donde $a_{-i}$ denota las acciones de los otros jugadores.

Un equilibrio de Nash de estrategia pura (PSNE) del juego es $a^*\equiv (a_1^*,...,a_N^*)$ resolver $$ (1) \quad a_i^*\in argmax_{a_i\in \{0,1\}^J} u_i(a_i, a^*_{-i}) \quad \forall i=1,...,N $$

Tenga en cuenta que si $a^*$ es un PSNE, entonces $$ (2) \quad \text{If $ a^*_{i,j} $=0, then } u_i(a^*_i, a^*_{-i})\geq u_i(a^*_i+\{a_{i,j}=1\}, a^*_{-i})\\ \quad \quad \text{If $ a^*_{i,j} $=1, then } u_i(a^*_i, a^*_{-i})\geq u_i(a^*_i+\{a_{i,j}=0\}, a^*_{-i})\\ \forall i=1,...,N \quad \forall j=1,...,J $$ donde $a^*_i+\{a_{i,j}=1\}$ denota $a^*$ donde $a^*_{i,j}=0$ se sustituye por uno; $a^*_i+\{a_{i,j}=0\}$ denota $a^*$ donde $a^*_{i,j}=1$ se sustituye por cero.

Reclamación: Supongamos que los empates son eventos de probabilidad cero. Entonces, un perfil de acción $a$ satisface (2) si y sólo si $$ (3) \quad a_{i,j}=1\{u_i(a_i+\{a_{i,j}=1\}, a_{-i})- u_i(a_i+\{a_{i,j}=0\}, a_{-i})\geq 0\}\\ \forall i=1,...,N \quad \forall j=1,...,J $$

Pregunta: Dejemos que $A$ sea el conjunto de PSNE. Sea $B$ sea el conjunto de $a$ satisfactorio (3). Es $A\subseteq B$ ? Si $B$ está vacío, entonces $A$ ¿está vacío?

Answer 1

La condición 3 puede escribirse de la siguiente manera: $a^\ast \in B$ si para todo $i$ y todos $j$ $$ a^\ast_{i,j} = 1 \iff u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 1\}, a^\ast_{-i}) \ge u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 0\}, a^\ast_{-i}) $$ Como no hay empates, esto se puede escribir como: $$ a^\ast_{i,j} = 1 \to u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 1\}, a^\ast_{-i}) \ge u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 0\}, a^\ast_{-i}),\\ a^\ast_{i,j} = 0 \to u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 0\}, a^\ast_{-i}) \ge u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 1\}, a^\ast_{-i}) $$

Si $a^\ast$ es un equilibrio de Nash (es decir $\in A$ ), entonces para todo $i$ y todos $a_i$ : $$ u_i(a_i^\ast, a_{-i}^\ast) \ge u_i(a_i, a_{-i}^\ast) $$

Es $A \subseteq B$ ?

Sí. Deja que $a^\ast \in A$ . Queremos demostrar que $a^\ast \in B$ . Para demostrar que $a^\ast \in B$ sólo tenemos que ver las desviaciones en las que $a_{i,j}^\ast$ cambios para un determinado $j$ . Para ello, define $a_i = (a_{i,\ell}|\ell \le J)$ tal que: $$ a_{i,\ell} = \left\{\begin{array}{ll} a^\ast_{i,l} &\text{ if } \ell \ne j\\ 1- a_{i,j}^\ast &\text{ if } \ell = j \end{array}\right. $$ Así que $a_i$ difiere de $a_i^\ast$ sólo porque $a_{i,j}$ valor conmutado (de 1 a 0 o viceversa). Para demostrar que $a^\ast \in B$ , mostramos las dos condiciones.

1. Si $a_{i,j}^\ast = 1$ tenemos:

$$ u_i(a_i^\ast, a_{-i}^\ast) = u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 1\}, a_{-i}^\ast),\\ \ge u_i(a_i, a_{-i}^\ast) = u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 0\}, a_{-i}^\ast). $$ La desigualdad se desprende de la definición de un equilibrio de Nash. Las igualdades se derivan de la definición de $a_i$ .

2. Si $a^\ast_{i,j} = 0$ tenemos:

$$ u_i(a_i^\ast, a_{-i}^\ast) = u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 0\}, a_{-i}^\ast),\\ \ge u_i(a_i, a_{-i}^\ast) = u_i(a_i^\ast + \{a_{i,j} = 1\}, a_{-i}^\ast). $$ Esto demuestra que $a^\ast \in B$ .

Si $B$ está vacío, entonces $A$ ¿está vacío?

Esto se desprende de $A \subseteq B$ . Si $B = \emptyset$ y $A$ es un subconjunto de $B$ entonces inmediatamente $A = \emptyset$ .

Obsérvese que la inclusión puede ser estricta, es decir, hay casos en los que $A \ne B$ . Para ver esto, considere el caso en el que $J = 2$ y la tabla de pagos es la siguiente.

(00)

(01)

(10)

(11)

(00)

4,4

1,1

2,2

4,0

(01)

2,2

2,3

1,4

1,0

(10)

1,4

3,2

4,3

2,0

(11)

0,4

4,0

0,2

3,3

Tenemos que $(11,11)$ está en $B$ pero no en $A$ ya que no es un equilibrio de Nash. El único equilibrio de Nash es $(00,00)$ .