Primer teorema del bienestar y convexidad

Question

¿Son necesarias las preferencias convexas para el primer teorema del bienestar? Parece que sí. Por ejemplo, podríamos tener una situación en la que la curva de indiferencia de B no es convexa, de manera que, en el equilibrio X, cruza la curva de indiferencia de A. Por lo tanto, un movimiento hacia la izquierda (si el consumo de B se mide desde abajo a la izquierda) hará que A esté mejor y que B no esté peor. Por lo tanto, X es un equilibrio que no es pareto eficiente.

Answer 1

¿Son necesarias las preferencias convexas para el primer teorema del bienestar?

No, la convexidad de las preferencias se impone por otras razones. Una condición general suficiente es la no convexidad local, que dice que el agente puede mejorar con una pequeña perturbación arbitraria de su paquete de consumo. Esto puede ocurrir sin que la preferencia sea convexa.

Así lo vería. Por ejemplo...

Como ya ha señalado @Shomak, el ejemplo de asignación que sugieres no es un equilibrio. Tampoco tiene nada que ver con la convexidad. El cruce de curvas de indiferencia en una asignación puede ocurrir para preferencias convexas o no convexas. Por lo tanto, no habla del papel de la convexidad en el teorema de una manera u otra.

Asumiendo que las preferencias están representadas por funciones de utilidad diferenciables (como es habitual), el razonamiento marginalista estándar te dice que la asignación que describes no es un equilibrio.

Independientemente de si la función de utilidad es cuasi-cóncava (es decir, si la preferencia subyacente es convexa), la condición de primer orden es siempre una condición necesaria para la optimización. Por lo tanto, los agentes deben tener la misma tasa marginal de sustitución entre productos básicos en el equilibrio. Cuando las curvas de indiferencia se cruzan, no tienen la misma TMS.

Answer 2

He aquí una respuesta que probablemente sea confusa, pero que añade una perspectiva avanzada.

La primera demostración general del primer teorema del bienestar (debida a Kenneth Arrow) que no se basaba en el cálculo utilizaba el supuesto de convexidad estricta. Posteriormente, Tjalling Koopmans introdujo el supuesto de no convexidad local, que se ha convertido en el supuesto estándar en los libros de texto para demostrar el primer teorema del bienestar.

Pero el primer teorema del bienestar se mantiene bajo un supuesto más débil que al mismo tiempo está implicado por la convexidad estricta: La noción local puede fallar como máximo en un paquete de consumo que sea el mejor para ese consumidor. Una gran fuente de información sobre los detalles de la generalización de los teoremas del bienestar es Óptimos y equilibrios de Pareto: el caso de dimensión finita (muro de pago, lo siento) por Andreu Mas-Colell.

La situación suele ser algo diferente cuando se trabaja con espacios de mercancías de dimensión infinita (importante para la macro y las finanzas). En este caso, la no sedimentación local no suele ser un supuesto útil por razones algo técnicas, y en su lugar se utilizan supuestos de monotonicidad fuerte o de no sedimentación más convexidad fuerte.

Answer 3

Yo añadiría a la respuesta de Michael que la convexidad es importante porque es necesaria para demostrar que existe al menos un equilibrio competitivo (y también para demostrar el segundo teorema del bienestar).