Función de coste total a corto plazo Pregunta

Question

Estoy confundido acerca de la función de coste total a corto plazo de este problema.

Si la función de producción de la empresa es $F(K,L) = K+\ln(L)$ derivar la función de coste total a corto plazo.

Pude resolver la función de coste total a corto plazo, pero mi TA tenía 2 casos para su función mientras que yo sólo tenía 1 parte de su función.

Tengo $TC= W*e^{q-K} + r\bar{K}$ para todos $q$ pero mi TA tenía 2 casos para $q$ . En concreto, cuando $q<\bar{K}$ y $q>\bar{K}$

Gracias.

Answer 1

Voy a intentar hacerlo. El problema es:

$$\text{min } C = rK + wL \\ \text{s.t. } q = K + \ln(L) $$

La restricción implícita, por supuesto, es $L \in [1, \infty)$ (restricción de no negatividad, ya que $q > 0$ y $K = 0$ es, por supuesto, posible).

Podemos intentar resolverlo utilizando los multiplicadores de Lagrange. Definir el Lagrangiano:

$$\mathcal{L} = (rK + wL) + \lambda(q - K - \ln(L))$$

Las condiciones de primer orden son:

$$\mathcal{L}_{K} = r - \lambda = 0$$ $$\mathcal{L}_{L} = w - \lambda(\frac{1}{L}) = 0$$ $$\mathcal{L}_{\lambda} = q - K - \ln(L) = 0$$

Utilizando un poco de álgebra, obtenemos $r = wL$ y $L = e^{q-K}$ . Sustituyendo en la ecuación de costes original:

$$C = K(we^{q-K}) + we^{q-K} = we^{q-K}(K + 1) $$

No creo que esto pueda simplificarse mucho más.

Esa parece ser la misma respuesta que obtuviste tú (sólo lo expresé en términos de salarios y capital). Así que no estoy seguro - tal vez estoy cometiendo un error.