¿Puede alguien dar una definición rigurosa de una función de utilidad? Había pensado que una función de utilidad sólo necesita preservar el orden de las preferencias. Por tanto, una función de utilidad puede tomar valores negativos siempre que preserve el orden de las preferencias. Otros me han dicho que una función de utilidad no puede tomar valores negativos. ¿Es ésta una condición de una definición rigurosa de una función de utilidad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una función de utilidad puede ser ciertamente negativa. La función de utilidad es nada más que una forma de representar una relación de preferencia. Este es un punto conceptual importante. En varios teoremas que suelen aparecer en los textos introductorios, mostramos que los conjuntos de preferencias que satisfacen ciertas condiciones de regularidad pueden representarse como función de utilidad.
Además, existen diferentes marcos de teoría de la decisión que permiten transformar la función de utilidad. Usted aludió a algo así en su pregunta. En el marco tradicional sin incertidumbre, la función de utilidad se define hasta una transformación monótona. Bajo ciertos tipos de incertidumbre, obtenemos funciones de utilidad de Von Neumann-Morgenstern que son únicas hasta transformaciones afines. Se puede leer más sobre esto en otro lugar. Por ahora, consideremos la siguiente definición de función de utilidad. Está tomada de Teoría microeconómica avanzada de Jehle y Reny (3ª edición):
Una relación de preferencia $\succeq$ se define como sigue:
donde las referencias de los axiomas son estas:
Axioma 1: La integridad. Para todos $x^1$ y $x^2$ en $X$ , ya sea $x^1 \succeq x^2$ o $x^2 \succeq x^1$ .
Axioma 2: Transitividad. Para tres elementos cualesquiera $x^1$ , $x^2$ y $x^3$ en $X$ , si $x^1 \succeq x^2$ y $x^2 \succeq x^3$ entonces $x^1 \succeq x^3$ .
Xavier Nodet
Puntos
2498
He aquí una posible definición rigurosa de una función de utilidad:
Dejemos que $X$ sea un conjunto de alternativas. Sea $\succeq$ sea una relación de preferencia sobre esas alternativas. $U: X \to \mathbb{R}$ es una función de utilidad significa que $U(x) \geq U(y) \iff x \succeq y$ .
Entonces, si por ejemplo $X$ es "las cantidades de dinero que te pueden dar", y $x \succeq y$ sólo si $x \geq y$ entonces algunas posibles funciones de utilidad son $U(x) = x, U(x) = e^x, U(x) = \log(x)$ ...
Algunos de ellos son negativos.
Por supuesto, se podría exigir que $U(x) > 0$ . Tal vez esto lo haga más fácil de digerir como una interpretación del "bienestar" de un individuo. Pero eso descartaría muchas funciones de utilidad comúnmente utilizadas, como $U(x) = x$ o $U(x) = \log(x)$ .
TimB
Puntos
3646
Como dice jmbejara generalmente en economía la utilidad no se mide en nada más que en relaciones de preferencia, por lo que se llama utilidad ordinal (que contrasta con la utilidad cardinal). Así que un paquete que da una utilidad de -1 es preferido a cualquier paquete que da menos de -1. El número -1 no nos dice nada más.
"La teoría de la utilidad ordinal afirma que, si bien la utilidad de un bien o servicio concreto no puede medirse mediante una escala numérica con significado económico en sí misma, los pares de conjuntos (combinaciones) alternativos de bienes pueden ordenarse de forma que un individuo considere uno peor, igual o mejor que el otro. Esto contrasta con la teoría de la utilidad cardinal, que generalmente trata la utilidad como algo cuyo valor numérico es significativo por sí mismo". (fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_utility )
