¿Cuáles son las medidas alternativas de riesgo?

Question

En finanzas, la varianza de los rendimientos de un valor se utiliza como indicador del riesgo asociado al mismo. He visto que algunos libros incluyen frases como "si se toma la varianza como medida del riesgo...". ¿En qué sentido puede ser la varianza una medida incompleta del riesgo? ¿Qué alternativas tenemos?

Answer 1

La varianza es una medida incompleta del riesgo en el sentido de que mide la incertidumbre en los resultados de la seguridad, en lugar de la incertidumbre en el bienestar del titular. De la forma más sencilla podemos demostrar este punto de la siguiente manera.

Supongamos que los agentes quieren aumentar marginalmente su tenencia de un activo en $\xi$ y una unidad de activo proporciona un pago de $x$ que es una variable aleatoria. Ahora modelamos al agente como si le importara la volatilidad de su consumo $c$ que es más razonable, que suponer que se preocupa por la volatilidad en la retribución directamente. Entonces $$Var(c+\xi x) = Var(c) + 2\xi\cdot cov(c,x) + \xi^2Var(x)$$ y el último término es despreciable ya que $\xi$ es un cambio marginal.

Por lo tanto, como los cambios marginales se consideran en el equilibrio, es más razonable tomar la covarianza entre el consumo y la remuneración como medida del riesgo del valor, en lugar de sólo la varianza de la remuneración. En la práctica, el consumo agregado se utiliza a menudo como una aproximación al consumo individual.

Se puede introducir otra medida más precisa de la peligrosidad si se prescinde de la atención directa a la volatilidad del consumo y se considera un agente con una utilidad dependiente de su flujo de consumo. Se trata de un ejercicio técnico bastante largo y los interesados deberían consultarlo en el excelente libro de texto "Asset Pricing" de John Cochrane. Me limitaré a presentar aquí el resultado para el modelo de tiempo discreto multiperiodo.

Si definimos una variable aleatoria $m_t = \beta\frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)}$ llamado factor de descuento estocástico para un agente con utilidad von Neumann-Morgenstern y factor de descuento $\beta$ entonces por un argumento similar al anterior podemos derivar que $cov(m_t,x_t)$ debe considerarse como una mejor medida del riesgo de la seguridad .

Obviamente, cualquier transformación no aleatoria de lo anterior puede considerarse una medida de riesgo, es decir, la desviación estándar y la correlación en lugar de la varianza y la covarianza son bastante populares. También se pueden aplicar diferentes normalizaciones no aleatorias a $m_t$ . Por ejemplo $u'(c)$ puede ser utilizado, como $\beta$ no es aleatorio y $c_t$ se conoce en el momento $t$

Answer 2

Para las medidas alternativas de riesgo, considere: 1. Excursión adversa máxima [MAE]: la mayor pérdida histórica sufrida por un sistema, una operación o una inversión, ya sea real o de prueba. 2. Average True Range [ATR] una medida de cambio de precios que captura los máximos/mínimos/cierres y los gaps: http://stockcharts.com/school/doku.phpd=chart_school:technical_indicators:average_true_range_atr

Answer 3

Para un enfoque alternativo:

Supongamos que tenemos riqueza $W_0$ lo que es seguro. Supongamos que no hay inflación y cosas por el estilo. Si invertimos una cantidad $A$ en algún lugar (seguridad o lo que sea), cuyo futuro es incierto, nuestra riqueza se convierte en una variable aleatoria

$$W_r = W_o -A + A(1+r) = W_0 + Ar, \;\;\; r \geq -1$$

donde $r$ es el rendimiento proporcional, y puede ser tan bajo como $-1$ Es decir, podemos incluso perder por completo la cantidad que hemos invertido. Esto también refleja los casos de "responsabilidad limitada" del inversor, que es lo que ocurre cuando se contempla la compra de bonos, acciones, etc. (pero en otras formas de inversión, por ejemplo, un negocio personal, se puede arriesgar todo el patrimonio del inversor, independientemente de la cantidad invertida en el negocio). La fuente de aleatoriedad es $r$ .

Ahora, un punto de vista "conservador" sería ignorar el coste de oportunidad y piensa lo siguiente: "Entiendo que el "riesgo" que asumo, es la posible reducción de mi patrimonio". De esta definición, se deduce naturalmente que un medir del riesgo debe basarse en el cambio de la riqueza. El cambio de riqueza es (mediante un enfoque de "antes y después")

$$\Delta W = W_r - W_o = Ar$$

Se trata de una variable aleatoria. Aceptando el valor esperado como un análogo estocástico razonable del nivel de una variable determinista (no es el único, por supuesto, pero esa es otra discusión), podemos decir razonablemente que " una cuantificación en unidades de riqueza de mi riesgo, es el valor esperado de la variación negativa de la riqueza ( $r<0$ ) dado que tal cosa ocurre, multiplicado por la probabilidad de que efectivamente ocurra" . En los símbolos

$$\text {Risk} = E(\Delta W \mid r< 0) \cdot P(r< 0) = A\cdot E(r \mid r< 0) \cdot P(r< 0) = A\cdot E(r \,; r< 0)$$

$$\Rightarrow \text {Risk} = A\cdot \int_{-1}^0rf_r(r)dr$$

donde $f_r(r)$ es la función de densidad de probabilidad de $r$ .

Answer 4

Cualquier medida significativa del riesgo debe ser subjetiva y orientada al futuro, no una medida de los rendimientos históricos. El riesgo objetivo elimina a las personas de la ecuación, mientras que, en esencia, el riesgo tiene que ver con cómo se comportan las personas (actúan y reaccionan) en los mercados financieros. No hay constancia en las ciencias sociales, a diferencia de las ciencias físicas, donde puede ser válido un enfoque frecuentista.

Answer 5

La varianza a plazo es una medida de riesgo válida para los bonos de cupón fijo y de cupón cero, pero no es en absoluto una medida de riesgo para las acciones, ni para las antigüedades.

La varianza es una propiedad de una distribución, como la nariz es una propiedad de la mayoría de los vertebrados. No se espera ver una nariz en un árbol. No todas las distribuciones tienen varianza, al igual que no todos los seres vivos tienen nariz. Los rendimientos de los valores de renta variable no pueden tener una varianza. Para una discusión más amplia, véase https://ssrn.com/abstract=2828744

Para entender por qué, primero es importante señalar que los rendimientos de las acciones no son datos. Los precios implicados son datos, pero los rendimientos no son datos, sino la transformación de datos, en particular, un precio de compra y un precio de venta. Para entender la distribución de los rendimientos, primero debemos entender la distribución de los precios, de los que los rendimientos son una transformación.

La distribución de los precios vendría determinada por las normas que rigen la creación de esos precios. Véase el documento anterior para un análisis de las diferentes reglas. Si adoptamos por un momento una visión markowitziana del mundo, con una liquidez infinita y, por tanto, sin precios de compra y venta, sin quiebras ni fusiones forzadas, con muchos compradores y muchos vendedores en equilibrio, entonces, en cualquier momento estático, los precios se distribuirán normalmente.

La razón es que las acciones se venden en una doble subasta, en la que los compradores compiten con otros posibles compradores y lo mismo ocurre con los posibles vendedores. Dado que suponemos que el mercado está en equilibrio, lo cual no es obligatorio, no existe la maldición de los ganadores y, por tanto, el único comportamiento racional es pujar por las expectativas. El libro de pedidos será un libro de expectativas y como estamos suponiendo "muchos" la distribución convergerá a la normalidad. Esto implica que los "shocks" son errores de valoración, en el mundo de Markowitz, por parte de la contraparte porque somos tomadores de precios.

La ecuación más básica del CAPM, de la que se derivan explícita o implícitamente Black-Scholes y otros modelos de opciones, es $$\tilde{w}=R\bar{w}+\epsilon.$$ Como señaló Gauss, este no es un problema resoluble, sino que debemos resolverlo en el límite, por lo que suponiendo que este proceso se repita, podemos hablar de $$w_{t+1}=Rw_t+\epsilon_{t+1}.$$ Si asumimos $wealth=price\times{quantity}$ y sin pérdida de generalidad asumir $quantity=1$ en todos los puntos del tiempo, entonces podemos reducirlo a un problema de precios tal que $$p_{t+1}=Rp_t+\varepsilon_{t+1},$$ donde $\epsilon$ está centrado en cero con una varianza finita mayor que cero.

$R$ es la recompensa por invertir, siendo el rendimiento la recompensa menos uno. Vamos a hablar de la recompensa porque el rendimiento no es más que una variable desplazada y hablar de una es hablar de la otra.

Si pensamos en una recompensa realizada en el momento $t$ como ser $$r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$$ entonces estamos hablando de una función que es una razón para su distribución. La cuestión es cuál es esa distribución. Si añadimos el supuesto de que los errores son independientes, de nuevo véase el documento anterior si no se quiere asumir eso o si se quiere incluir la quiebra, las fusiones o la liquidez, y suponemos que están en equilibrio por lo que están centrados en (0,0) para el componente de error, entonces esa distribución es bien conocida y resuelta. Es $$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-R)^2}.$$

Bajo los supuestos de una palabra markowitziana, la distribución de recompensas o rendimientos sólo tiene un momento zeroth, es decir, no puede tener ninguna expectativa. Por ello, y porque $R>1$ En este caso, se puede demostrar que no existe una solución admisible no bayesiana, por lo que cualquier método frecuentista, incluyendo la derivación del CAPM o del Black-Scholes, es una solución inadmisible del problema A MENOS que todos los parámetros sean realmente conocidos con perfecta certeza.

Esto no llega al nivel en el que uno escribiría quod erat demonstrandum, ya que carece del rigor de este post, pero busca el artículo. La varianza no es una propiedad de los rendimientos de las acciones. Aunque se puede invocar un proceso como $$s^2=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$ como un algoritmo, ya que $\bar{x}\perp\mu$ este algoritmo sólo genera un número aleatorio.

La solución frecuencial más cercana es el rango semi-intercuartil, pero debido al truncamiento al no permitir precios negativos, subestima la variabilidad en un cuatro por ciento sobre la población de rendimientos anuales en el universo CRSP para rendimientos de un año desde 1925-2013.

Para otros activos, como las antigüedades vendidas en Sotheby's, sigue sin haber varianza, pero la distribución es en cambio el cociente de dos distribuciones de Gumbel. Se puede ver esto, en el documento, haciendo la transformación trigonométrica en lugar de la transformación de razón. Todas las soluciones deben tener $\tan^{-1}(x)$ para alguna forma de $x$ en él, que es la fdc de la distribución de Cauchy, lo que garantiza que, salvo en el caso de ciertos instrumentos de pago fijo, no existe varianza alguna en las finanzas o la macroeconomía o cualquier otro modelo con capital. Otros activos tienen otras distribuciones. Aprende las reglas del entorno y podrás derivar la(s) distribución(es).

Su medida alternativa de riesgo es el diferencial en el Bayesiano predictivo distribución. También tiene la bonita propiedad de la coherencia, por lo que se pueden hacer apuestas justas.