Modelo de Solow: Derivada parcial de k* con respecto a g

Question

Dado el modelo de Solow $sf(k)=(n+g+\delta)k$ , escrito como

$$F=sf(k^\star)-(n+g+\delta)k^\star=0$$

Estoy tratando de encontrar la derivada parcial de k* con respecto a n

Esto es lo que he probado: Utilizo el teorema de la función implícita de manera que necesito calcular $\frac{\partial k^\star}{\partial n}=-\frac{F_n}{F_{k^\star}}$ . Ya he comprobado que

$$F_{k^\star} = sf'(k^\star)-(n+g+\delta)$$

A continuación quiero encontrar $F_{n}$ . Tomando la derivada parcial y encontrando que $F_n=-k^\star$ . Sin embargo, tengo la duda de si debo o no utilizar la regla de la cadena, ya que $k^{\star}$ depende de $n,g,s,\delta$ . En ese caso me parece que, porque $$\frac{\partial f(k^\star)}{\partial n}=f'(k^\star)\frac{\partial k^\star}{\partial n}$$

Entonces tenemos que $F_n=sf'(k^\star)\frac{\partial k^\star}{\partial n}-k^\star$ . Por lo tanto, tenemos

$$\frac{\partial k^\star}{\partial n}=-\frac{F_n}{F_{k^\star}}=\frac{sf'(k^\star)\frac{\partial k^\star}{\partial n}-k^\star}{sf'(k^\star)-(n+g+\delta)}$$

Parece extraño encontrar el resultado de $\frac{\partial k^\star}{n}$ se incluye a sí misma.

Answer 1

Cuando se utiliza la diferenciación implícita a lo largo de una curva de nivel, se tratará la variable con respecto a la cual se está diferenciando como una sola variable, en lugar de una función. Esto se debe a que la fórmula para la diferenciación implícita a lo largo de la curva de nivel ya se basa en una derivación previa en la que ya se resuelve para $y'$ .

Por ejemplo, para la función general $F(x,y)=c$ donde $y=f(x)$ obtenemos por diferenciación implícita:

$$v(x) = F(x,y) = c \implies v'(x) = F_x' + F_y' y' = 0 $$

En consecuencia, obtenemos el resultado de que:

$$y' = - \frac{F_x'}{F_y'} \tag{1}$$

Por lo tanto, si sólo se aplica la fórmula dada por 1 ya no se utilizará la regla de la cadena, puesto que ya se utilizó en la derivación de la fórmula. Por ejemplo:

$$xy=5 \implies y'= -\frac{y}{x} $$

por lo que en su caso la diferenciación implícita correcta a lo largo de una curva de nivel daría como resultado

$$\frac{\partial k^*}{\partial n}= -\frac{F_n'}{F_k'} =\frac{k^*}{sf(k^)(n+g+\delta)}$$

Podrías verificarlo diferenciando implícitamente la función original, lo que daría como resultado:

$$\frac{\partial k^*}{\partial n}[sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*] \implies sf'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial n} = k^* + (n +g + \delta )\frac{\partial k^*}{\partial n}$$

Resolver para $\frac{\partial k^*}{\partial n}$ rendimientos:

$$\frac{\partial k^*}{\partial n} =\frac{k^*}{sf(k^)(n+g+\delta)}$$

así que está claro que funciona.