La premisa de Ito establece que para una función $F$ de una variable estocástica $X$, $dF = \frac{dF}{dX}dX + \frac{1}{2}\frac{d^2F}{dX^2}dt$
Dada una ecuación diferencial estocástica $dS = a(S) dt + b(S) dX$ y una función $V(S)$, la ecuación diferencial que satisface $V(S)$ se establece como $dV = \frac{dV}{dS}dS + \frac{1}{2}b^2 \frac{d^2V}{dS^2}dt $. El libro dice que esto se puede derivar adecuadamente o usando la sustitución de trampa de $dX^2 = dt$.
Pero simplemente no entiendo cómo se obtiene la expresión para $dV$ - ya sea adecuadamente o usando la serie de Taylor. Cuando se usa la serie de Taylor, ¿cómo debería expandir $V$? ¿Debería usar la serie de Taylor para una función compuesta, como se muestra, por ejemplo, aquí? ¿Y cómo podría hacerlo "correctamente"?
El libro es Quantitative Finance de Paul Wilmott, he tomado una captura de pantalla de la sección relevante.
Hago un intento completamente ingenuo tratando de aplicar la premisa de Ito a $V$ tratando $S$ como la variable aleatoria (ya que, en efecto, es la función de una).
$dV = \frac{dV}{dS}dS + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2}dS^2 $
y luego sustituyendo la expresión dada de $dS$ en el segundo término de la parte derecha. $dV = \frac{dV}{dS}dS + \frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2}(a(S) dt + b(S) dX)^2$
Esto puede dar directamente la expresión correcta para $dV$ si el término de $dt$ dentro de los corchetes se hace cero. Pero, ¿por qué sería eso? Obviamente hay algo sutil que me estoy perdiendo por completo. Cualquier indicación sería apreciada. También en cuanto a cómo derivarlo adecuadamente.
