Media de Bregman de una distribución

Question

En un documento ( enlace ), el autor escribe, dado que $\gamma:R\rightarrow \bar{R}$ es una función convexa, $dom_{\gamma}:=\{x\in R:\gamma(x)<+\infty\}$ es un conjunto abierto no vacío y $\gamma$ una función propia diferenciable cerrada en el interior de $dom_{\gamma}$ , $d$ es Divergencia de Bregman $$d_{\gamma}(x,x')=\gamma(x)-\gamma(x')-\gamma'(x')(x-x')$$ Definir el La media de Bregman como punto único $b$ en apoyo de $\mu$ Satisfaciendo a $$\int d_{\gamma}(b,x)\mu(dx)=\min_{m\in dom_{\gamma}}\int d_{\gamma}(m,x)\mu(dx)$$ .

Dice que es muy fácil de obtener $b$ diferenciando: $b=\gamma'^{-1}[\int\gamma'(x)\mu(dx)]$ .

¿Puede alguien explicarme la definición y cómo obtiene la fórmula de $b$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin {align*} f(m) &= \int d_{ \gamma }(m,x) \mu (dx) \\ &= \int \big [ \gamma (m)- \gamma (x)- \gamma '(x)(m-x) \big ] \mu (dx) \\ &= \gamma (m) - \int \big [ \gamma (x)+ \gamma '(x)(m-x) \big ] \mu (dx). \end {align*} Entonces, \begin {align*} \frac {df}{dm} = \gamma '(m) - \int \gamma '(x) \mu (dx), \end {align*} y el punto crítico viene dado por \begin {align*} b = \big ( \gamma ' \big )^{-1} \Big ( \int \gamma '(x) \mu (dx) \Big ). \end {align*}