Agregación de $\rho$ y $p$ para un modelo vasicek

Question

Actualmente me enfrento al problema de cómo ajustar adecuadamente (de forma analítica) los parámetros de una distribución de pérdidas agregada de Vasicek (2002) para que tenga la misma pérdida esperada y el mismo cuantil del 99% que la suma de los créditos independientes (es decir, sin efectos de diversificación).

Recuerde la fórmula de la distribución asintótica de pérdidas acumulativas de un factor, donde $$P(L\le x) = F(x;p;\rho)=N\biggl(\frac{\sqrt{1-\rho} N^{-1}(x)-N^{-1}(p)}{\sqrt{\rho}}\biggr)$$

Recuerde también que $L$ es la fracción de pérdida de la cartera, es decir $L \in [0;1]$ , $\rho$ es la correlación de cada préstamo con el factor de riesgo (equicorrelación) y $p$ es la probabilidad de impago. $\rho$ y $p$ es el mismo para todos los préstamos.

Ahora el problema es que tengo una cartera de préstamos de $n$ préstamos que no tienen la misma correlación con el factor de riesgo (porque pertenecen a sectores diferentes) ni la misma probabilidad de impago (que es más realista).

Ahora quiero calibrar analíticamente la distribución anterior (encontrar un agregado $\rho$ y $p$ ) tal que se cumple lo siguiente:

$$\sum_{i=1}^n F_i(x;p_i;\rho_i ) = F(x;p;\rho)$$

Saludos cordiales

Answer 1

Primero puedes calcular la media de la PD - algunas opciones serían:

1. Media simple de las EP individuales
2. Media ponderada de la exposición de las PD
3. Si el rango de las PDs es demasiado grande, entonces es posible que desee agruparlas y aplicar la fórmula Vasicek a cada una de ellas; así es como lo enfoca Basilea.

Una vez que se tiene la PD y la LGD, se puede resolver la correlación. Esto es muy parecido a encontrar el vol implícito de Black scholes - la correlación sirve el mismo propósito en el Vasicek. Y si quieres investigar más, busca la correlación base: En los tramos de CDO, etc., la correlación de base, es como la correlación en la distribución Vasicek, y tiene más o menos el mismo significado que el IV de Black Scholes.