Función de utilidad CES en una caja de Edgeworth

Question

Dos consumidores tienen la función de utilidad CES $x_1^\beta +x_2^\beta$ , para $0<\beta<1$ sus dotaciones iniciales son $w^1=(1,0)$ , $w^2=(0,1)$ Dibuja el núcleo de esta economía en un cuadro de Edgeworth. Observa y verifica que la demanda de la función de utilidad CES es $x_i^*(p,pw)={\dfrac{p_i^{(s-1)}}{(p_1^s+p_2^s)}}$$pw$ , donde $s={\dfrac{\beta}{\beta-1}}$

He dibujado el CI de la función CES, que supongo son los similares a este en un sentido con el fin de encontrar el núcleo. https://dismaldocket.files.wordpress.com/2013/02/pareto-set.jpg

Para encontrar la demanda estaba buscando equiparar su MRS= $\dfrac{\beta x_1^{\beta-1}}{\beta x_2^{\beta-1}}$ = $\dfrac{p_1}{p_2}$ sustituyendo esto a la ecuación del presupuesto obtengo que $x_1^*$ = $\dfrac{w \cdot p_1}{p_1^2+p_2^{\beta/(\beta-1)}}$

Sin embargo, lo más probable es que haya hecho cálculos erróneos o que esté completamente desviado :). Cualquier sugerencia es más que bienvenida.

Answer 1

Parece que hay cierta confusión en la expresión para $x^*_i$ en la cuestión de si $i$ es para el consumidor de para el bien. Suponiendo que $i$ es para el consumidor:

Dejemos que $x^*_i = (x_1^i,x_2^i)'$ sea el paquete de equilibrio para el consumidor $i$ .

Como la función de utilidad es la misma para ambos, a partir del MRS tenemos:

\begin {align} \frac {x_1^i}{x_2^i}= \bigg ( \frac {p_1}{p_2} \bigg )^{s-1} \tag { $i=1,2$ } \end {align}

Restricción presupuestaria para $i$ :

\begin {align} p_1x_1^i+p_2x_2^i&= p_iw \\ x_2^ip_2 \Bigg ( \bigg ( \frac {p_1}{p_2} \bigg )^s+1 \Bigg )&=p_iw \tag {usando MRS} \\ x_2^i \bigg ( \frac {p_1^s+p_2^s}{p_2^{s-1}} \bigg )^s&=p_iw \\ x_2^i &= \frac {p_2^{s-1}}{p_1^s+p_2^s}p_iw \end {align}

Así que,:

$$x^*_i(p,pw) = \Bigg(\frac{p_1^{s-1}}{p_1^s+p_2^s}p_iw,\frac{p_2^{s-1}}{p_1^s+p_2^s}p_iw \Bigg)$$

La cuestión puede resolverse aún más, ya que $p_1/p_2$ utilizando la restricción: $x_j^1+x_j^2 = 1$