Opciones americanas y tiempos de parada

Question

El precio de una opción de venta americana puede escribirse como el siguiente problema de parada óptima: $V(0) = \mathop {\sup }\limits_{\tau \in \mathcal{T}} {\mathbb{E}^\mathbb{Q}}\left[ {{e^{ - r\tau }}\max [K - S(\tau ),0]} \right]$ , donde $\mathcal{T}$ es el conjunto de todos los tiempos de parada (ejercicio). Supongamos que no hay dividendos.

Si miro ${\mathbb{E}^\mathbb{Q}}\left[ {{e^{ - r\tau }}\max [K - S(\tau ),0]} \right]$ es el precio de una opción europea Black-Scholes con vencimiento en $\tau$ .

Para resolver el problema de la fijación de precios de las opciones americanas utilizando una lógica de sentido común - ¿por qué no puedo simplemente calcular el precio Black-Scholes para cada $\tau$ -Opción de vencimiento y luego tomar un precio máximo?

Answer 1

Se podría, pero hay dificultades asociadas a este enfoque. La principal es que $\tau$ es estocástico, es decir, es diferente para diferentes trayectorias de $S$ por lo que no se aplica la fórmula estándar de Black-Scholes. Por ejemplo, algunos $\tau$ s que necesita comprobar son de la forma $\tau =\inf\{t : S(t) <B\}$ en cuyo caso hay que valorar una opción de barrera con barrera $B$ y otras opciones para $\tau$ que hay que comprobar que son aún más complicados

Dicho esto, existen métodos de valoración de las opciones americanas que van en la línea de lo que dices, donde se busca el valor máximo sobre todos los tiempos de parada, convenientemente parametrizados. El cálculo para cada tiempo de parada particular es más complicado que la fórmula de Black-Scholes, por supuesto, como he explicado. Un trabajo reciente en esta línea es, por ejemplo, este