El precio de una opción de venta americana puede escribirse como el siguiente problema de parada óptima: V(0)=sup , donde \mathcal{T} es el conjunto de todos los tiempos de parada (ejercicio). Supongamos que no hay dividendos.
Si miro {\mathbb{E}^\mathbb{Q}}\left[ {{e^{ - r\tau }}\max [K - S(\tau ),0]} \right] es el precio de una opción europea Black-Scholes con vencimiento en \tau .
Para resolver el problema de la fijación de precios de las opciones americanas utilizando una lógica de sentido común - ¿por qué no puedo simplemente calcular el precio Black-Scholes para cada \tau -Opción de vencimiento y luego tomar un precio máximo?
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Las diversas opciones que vencen en diferentes \tau no son independientes entre sí: si S(\tau_1) es grande, entonces S(\tau_2) para \tau_2\approx \tau_1 es probablemente también grande y viceversa. No se puede tratar el problema como la elección del mejor entre activos independientes (opciones). En su lugar, el S(\tau) pertenecen a una única trayectoria aleatoria del precio de las acciones.
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Gracias @noob2, eso lo entiendo perfectamente. La verdadera solución es la programación dinámica "recursiva". Pero no veo esto en la fórmula general. ¿Qué elemento de la fórmula general he pasado por alto que traería la dependencia?
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Todo lo que estoy diciendo es que dejaste fuera el SDE \frac{dS}{S}=r dt + \sigma dW que vincula el S(\cdot) valores juntos. Lo cual es obvio, lo sé.