Me encontré con el siguiente problema:
Las cantidades de los dos únicos bienes de una economía se denominan $X$ y $Y$ ; no es posible la producción. Las preferencias de Ann y Ben están descritas por las funciones de utilidad $u_A(x,y) = X+Y$ y $u_B(x,y) = XY$ .
Ann es la dueña del paquete $(0,5)$ y Ben es el dueño del paquete $(30,5)$ . Determine el precio(s) y la asignación(es) de equilibrio walrasiano de equilibrio walrasiano.
Es bastante fácil determinar la curva de oferta de B (con el precio de $Y$ ( $p_2$ ) normalizado a 1): $$OC_B = \left(\frac{30p_1 + 5}{2p_1}; \frac{30p_1 + 5}{2}\right)$$
Sin embargo, no sé cómo proceder ahora, ya que el consumidor A es indiferente entre el bien X y el bien Y. La demanda general marshalliana de una función de la forma $u_A(x,y) = \alpha X+ \beta Y$ son (si suponemos que el consumidor consume las mismas cantidades en caso de que tengamos $p_1 = \frac{\alpha}{\beta}p_2$ ) son los siguientes:
$$ X^{M} = \left\{ \begin{array}{ll} m/p_1 & \mbox{if } p_1 < \frac{\alpha}{\beta}p_2 \\ m/2p_1 & \mbox{if } p_1 = \frac{\alpha}{\beta}p_2 \\ \ 0 & \mbox{else} \end{array} \right. $$
y
$$ Y^{M} = \left\{ \begin{array}{ll} m/p_2 & \mbox{if } p_1 > \frac{\alpha}{\beta}p_2 \\ m/2p_2 & \mbox{if } p_1 = \frac{\alpha}{\beta}p_2 \\ \ 0 & \mbox{else} \end{array} \right. $$
Así que si sustituimos la renta exógena por las dotaciones $\omega = e_1p_1 + e_2p_2$ y normalizar de nuevo el precio de Y a 1, nuestra curva de oferta sería exactamente igual a la del consumidor B (ya que $\alpha = \beta = 1$ ), porque estamos en el caso de que el consumidor A reparta su consumo de forma equitativa (por supuesto), ya que tenemos que $MRS_A = \frac{1}{1} = 1$ . Y como $MRS = \frac{p_1}{p_2}$ en equilibrio, debemos tener que $p_1 = p_2 = 1$ si no me equivoco.
$$OC_A = \left(\frac{30p_1 + 5}{2p_1}; \frac{30p_1 + 5}{2}\right)$$
Resolviendo para el Equilibrio Walrasiano, obtendríamos que $p_1 = 1/6$ que corresponde a nuestra relación de precios, ya que $p_2 = 1$ .
Esto de alguna manera no me parece correcto, porque el hecho de que el consumidor A quiera consumir ambos bienes por igual si $p_1 = \frac{\alpha}{\beta}p_2$ es sólo una suposición que hemos hecho para poder definir ese caso. En realidad, sin embargo, el consumidor A es totalmente indiferente entre los bienes X e Y, por lo que puede cambiar libremente entre ambos y no tiene que consumirlos $50:50$ . Además, lo que hace que este enfoque sea también muy confuso para mí es el hecho de que los precios son endógenos en este marco. Así que los precios deberían poder ajustarse libremente según la demanda, lo que hace que la definición anterior de las demandas marshallianas sea redundante.
Mi segunda pregunta es que, teniendo en cuenta esta lógica, ¿tendría siquiera sentido analizar lo que ocurre si $p_1 \neq \frac{\alpha}{\beta}p_2$ ? Como he dicho, los precios son endógenos, por lo que no podemos imponer determinados precios ya desde el principio. ¿Cómo se aborda entonces este problema con sustitutos perfectos en general? Digamos que tenemos por ejemplo $u_A(x,y) = 2X+3Y$ y $u_B(x,y) = XY$ . ¿Cambia el resultado?
