Condición de transversalidad en el modelo de crecimiento neoclásico

Question

En el modelo de crecimiento neoclásico existe la siguiente condición de transversalidad:

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$$ donde $k_{t+1}$ es el capital en el periodo $t$ .

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo se obtiene esta condición?

2. ¿Por qué lo exigimos, si queremos descartar las trayectorias sin acumulación de deudas?

3. ¿Por qué los multiplicadores de Lagrange $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ ¿el valor actual descontado del capital?

Answer 1

La condición de transversalidad puede entenderse más fácilmente si partimos de un problema con horizonte finito.

En la versión estándar, nuestro objetivo es $$ \max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t) $$ con sujeción a $$ \begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned} $$ con $k_0$ dado. El lagrangiano asociado (con multiplicadores $\lambda_t$ , $\mu_t$ y $\omega_t$ ) es $$ \max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1} $$ Los BDC son $$ \begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align} $$ con las condiciones de holgura complementarias de Kuhn-Tucker: para $t=0,\dots,T$ , $$ \begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align} $$ Dado que la restricción de recursos debe ser vinculante en todos los períodos, es decir $\lambda_t>0$ para todos $t$ se deduce que en el último período $T$ , $\omega_T=\lambda_T>0$ que a su vez implica $k_{T+1}=0$ .

Por lo general, asumimos $c_t>0$ para todos $t$ (la condición de Inada), y esto implica $\mu_t=0$ para todos $t$ . Por lo tanto, el consumo FOC se convierte en $$ \beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3} $$

Observación de las condiciones $(1)$ $(2)$ y $(3)$ en el último periodo $T$ obtenemos $$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$ Extendiendo esto al horizonte infinito, obtenemos la condición de transversalidad $$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$

La intuición de la condición de transversalidad es en parte que "no hay ahorro en el último período". Pero como no hay "último período" en un entorno de horizonte infinito, tomamos el límite a medida que el tiempo llega al infinito.

Answer 2

En mi opinión, la mejor derivación es la lógica. Piénsalo así: Si lo único que le decimos al hogar es que maximice su utilidad, el comportamiento óptimo sería entonces endeudarse hasta el infinito y consumir hasta el infinito. Esta no es una solución sensata. Por lo tanto, necesitamos otra condición de optimalidad. Esto debería responder a la pregunta 2.

En un escenario de horizonte finito, la viabilidad se lograría si la deuda tuviera que ser reembolsada en el último período. Esto no es posible en un entorno de horizonte infinito. Sin embargo, "descartar la acumulación de deuda", como sugieres, es una condición demasiado estricta (¡La condición de transversalidad permite la deuda!).

Para responder a la pregunta 3, veamos el término $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ . Representa la ganancia de utilidad (marginal) (en utilidades de valor presente) de cambiar $k_{t+1}$ unidades de capital al período t y consumirlas. Si esta ganancia de utilidad fuera positiva en el infinito, podríamos aumentar la utilidad global consumiendo más en el "periodo infinito", por lo que nuestra senda de capital no sería óptima.

A la pregunta 1: Para derivar esta condición, se puede hacer el argumento lógico que acabo de hacer, mostrando que sin que se cumpla la condición de transversalidad, la senda del capital no es óptima, o bien, para una demostración matemática, se puede comprobar, por ejemplo, Notas de Krusell (aunque es bastante difícil de entender)