Duración del bono perpetuo

Question

Estoy tratando de derivar la duración de un bono perpetuo con cupón $c$ de dos maneras:

$$D=-\frac{\frac{\partial P}{\partial r}}{P},$$ $$P=\frac{c}{r}$$ $$\Rightarrow D = -\frac{-\frac{c}{r^2}}{\frac{c}{r}}=\frac{1}{r}$$

En el segundo enfoque, quiero derivar la duración utilizando la Duración de Macauley (tiempo medio ponderado por PV hasta el vencimiento):

$$D=\sum_{t=1}^T \frac{c_t}{(1+r)^tP}\cdot t$$ $$\Rightarrow D=\sum_{t=1}^\infty\frac{ c\cdot t}{(1+r)^t\frac{c}{r}}=\sum_{t=1}^\infty\frac{ r\cdot t}{(1+r)^t}=r\sum_{t=1}^\infty\left(\frac{1}{1+r}\right)^t\cdot t$$ Sin embargo, no puedo demostrar la convergencia de esta suma a $1/y$ .

Llegué a reescribir la suma como: $$S_m=\sum_{k=1}^mkx^k=\sum_{k=0}^{m-1}(k+1)x^{k+1}=x+x\sum_{k=1}^{m-1}kx^k+x\sum_{k=1}^{m-1}x^k.$$ $$\Rightarrow (1-x)S_m=x\frac {1-x^m}{1-x}$$

Para $y>0$ tenemos $x=\dfrac1{1+r}<1$ y así la suma converge a $$\Rightarrow S_m=\frac {x}{(1-x)^2}=\frac {\dfrac1{1+r}}{(1-\dfrac1{1+r})^2}$$

$$\Rightarrow D=\frac {\dfrac{r}{1+r}}{(1-\dfrac1{1+r})^2}$$ Sin embargo, no pude mostrar el resultado deseado $D=\frac{1}{r}$ .

¿Puede alguien mostrar la solución correcta?

Answer 1

Ibas por buen camino. En el primer enfoque que has mostrado La duración modificada de la perpetuidad es $ModDur=\frac{1}{r}$ . En su segundo enfoque tenga en cuenta que $ModDur=\frac{MacDur}{(1+y_k/k)}$ por lo que para la capitalización anual su segunda aproximación debería converger a $MacDur=ModDur \cdot (1+r) = \frac{1+r}{r}$ que debería ser el caso.

$$S_m=\sum_{k=1}^mkx^k=x+2x^2+3x^3+4x^4+...$$ ahora $$xS_m=x\sum_{k=1}^mkx^k=x^2+2x^3+3x^4+4x^5+...$$ restando $S_m-xS_m$ obtenemos $$S_m-xS_m=x+x^2+x^3+x^4+...+:=A$$ ahora observamos que $A-xA=x$ que da como resultado $A=\frac{x}{1-x}$ y de $S_m-xS_m=\frac{x}{1-x}$ encontramos $S_m$ que es $S_m=\frac{x}{(1-x)^2}=$ y en sus nociones $x=\frac{1}{1+r}$ así que $S_m=\frac{1}{1+r}\cdot(1-\frac{1}{1+r})^{-2}=\frac{r+1}{r^2}$

ahora sustituimos el resultado en su fórmula $$MacDur=r\sum_{t=1}^\infty\left(\frac{1}{1+r}\right)^t\cdot t = r \cdot\frac{r+1}{r^2}=\frac{r+1}{r}$$