Derivación de las condiciones de optimalidad en el marco del modelo neokeynesiano con una función de consumo indefinida

Question

Intento resolver el problema de optimización del hogar en el marco del modelo neokeynesiano, donde la utilidad viene dada por

$$ E_0\sum_{t=0}^\infty \beta^t \mathcal{U}(C_t,L_t,N_t;Z_t) $$ y la utilidad del periodo se define como $\mathcal{U}(C,L,N;Z)=(U(C,L)-V(N))Z$ .

$U(\cdot)$ es creciente y cóncava, $V(\cdot)$ es creciente y convexo y $h(L/C)\equiv U_l/U_c$ es una función continua y decreciente que satisface $h(\bar{\varkappa})=0$ para algunos $0<\bar{\varkappa}<\infty$ .

$L_t\equiv M_t/P_t$ y se supone que $C_t,N_t,L_t\geq 0$ para todo t.

La secuencia de restricciones presupuestarias del hogar viene dada por $$ P_t C_t+B_t+M_t=B_{t-1}(1+i_{t-1})+M_{t-1}+W_t N_t+D_t-P_t T_t $$ para $t=0,1,2,...$ y descartamos los esquemas Ponzi imponiendo $$ \lim_{T\to\infty}\Lambda_{0,T}\mathcal{A}_T\geq0 $$ con $\mathcal{A}_T\equiv [B_{t-1}(1+i_{t-1})+M_{t-1}]/P_t$ como el salario financiero real del hogar al principio del periodo t. $W_t$ son los salarios nominales y $D_t$ son los dividendos pagados por las empresas.

Se supone que debo llegar a las siguientes condiciones de optimalidad

1. Ecuación de Euler: $U_{c,t}=\beta(1+i_t)(P_t/P_{t+1})U_{c,t+1}$

2. Oferta de trabajo intratemporal: $W_t/P_t=V_{n,t}/U_{c,t}$

3. Calendario de demanda de dinero: $h(L_t/C_t)=i_t/(1+i_t)$

En combinación con la condición de transversalidad: $\lim_{T\to\infty}\Lambda_{0,T}\mathcal{A}_T=0$

¿Cómo configuro el lagrangiano?

Answer 1

No estoy muy seguro de lo que $Z$ significa en este modelo (parece una especie de multiplicador sobre la utilidad estándar), pero en general puedo adivinar el resto. $C$ significa consumo, $L$ para la tenencia de dinero real, $N$ por las horas trabajadas, $B$ es un bono de un período, $M$ es dinero nominal, $W$ es el salario, $D$ es un dividendo, y $T$ es el impuesto.

$U(C,L)$ denota la utilidad derivada del consumo y de la posesión de dinero real, mientras que $V(N)$ es la desutilidad de trabajar. Reescribiendo el problema como sigue,

$$\underset{C_t,N_t, L_t, B_t}{\max} E_0\sum^{\infty}_{t=0}\beta^t\mathcal U(C_t,L_t,N_t;Z_t) \\ \text{subject to} \\ P_tC_t+M_t+B_t\leq B_{t-1}(1+i_{t-1})+M_{t-1}+W_tN_t+D_t-P_tT_t $$

Ahora puede establecer el lagrangiano $$\mathcal L= E_0\sum^{\infty}_{t=0}\beta^t\mathcal U(C_t,L_t,N_t;Z_t) + \lambda_t [B_{t-1}(1+i_{t-1})+M_{t-1}+W_tN_t+D_t-P_tT_t-P_tC_t-M_t-B_t]$$ Tomar la derivada parcial con respecto a las variables de elección,

$${\partial \mathcal L\over \partial C_t}=\beta^tZU_{C,t}-\lambda_tP_t \tag{1} $$ $${\partial \mathcal L\over \partial N_t}= -\beta^tZV_{N,t}+W_t \tag{2}$$ $${\partial \mathcal L\over \partial L_t}=\beta^tZU_{L,t}-\lambda_t P_t+\lambda_{t-1}P_{t-1} \tag{3}$$ $${\partial \mathcal L\over \partial B_t}= \lambda_{t+1}(1+i_t)-\lambda_t \tag{4}$$

Resolviendo con igualdad (dejaré los pasos para que completes el ejercicio), puedes derivar la ecuación de Euler de (1) & (4). La oferta de trabajo intratemporal puede derivarse de (1) y (2). Por último, el programa de demanda de dinero puede derivarse de (1), (3) y (4).