La filtración natural, como has dicho, se refiere a la filtración de un proceso concreto. La filtración generada por dos procesos diferentes no es necesariamente la misma que la filtración natural de un proceso. Por ejemplo, tomemos un modelo de un paso $$ \Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\\ \mathcal A=\mathcal P(\Omega)\\ X_0=Y_0=0\\ X_1(\omega_1)=0\\ X_1(\omega_2)=0\\ X_1(\omega_3)=1\\ Y_1(\omega_1)=0\\ Y_1(\omega_2)=1\\ Y_1(\omega_3)=1\\ \mathcal F^X_1=\mathcal \{\{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3\},\Omega, \emptyset \}\\ \mathcal F^Y_1=\mathcal \{\{\omega_2,\omega_3\},\{\omega_1\},\Omega, \emptyset \}\\ \mathcal F_1=\mathcal P(\Omega)\\ \mathcal F_0^X=\mathcal F_0^Y=\mathcal F_0=\{\Omega,\emptyset\} $$
La noción de filtración está relacionada con la noción de mensurabilidad, es decir, conocer la ley de probabilidad de una variable aleatoria, o proceso. En el ejemplo anterior, si el álgebra sigma fuera $\mathcal A= \mathcal F_1^Y$ se podría definir el proceso $X$ pero no se podía medir, (no se podía conocer su ley).
También se puede definir el proceso $$ Z_0(\omega_1)=1\\ Z_0(\Omega \backslash \{\omega_1\})=0\\ Z_1=1 $$ $Z_0$ es $\mathcal A$ -medible. Por tanto, tiene sentido como variable aleatoria. Sin embargo, $Z$ no se adapta a la filtración $\mathcal F=\sigma(X,Y)$
$Z$ es como una forma de conocer el futuro a 0. En los mercados financieros una filtración representa el flujo de información que se hace público en un momento dado. Siempre es creciente. Imagina que hubiera una variable que diera el resultado de un dado antes de lanzarlo. Imposible, ¿verdad? No se adaptaría a la filtración natural del resultado de los dados. En este sentido, una filtración está definida por toda la información disponible públicamente. Por lo tanto, la filtración se utiliza para separar diferentes clases de procesos. Las que se adaptan a la filtración y las que no. Además, cuando se define una martingala, hay que definirla con respecto a una determinada filtración. Los tiempos de parada también deben ser definidos con respecto a una determinada filtración. Normalmente, cuando se dice $X$ es una martingala y no especifica una filtración que significa con respecto a su filtración natural, porque si un proceso es una martingala para cualquier filtración, es una martingala para su filtración natural sin embargo.
Este artículo es realmente bueno en el tema Consulte también el Página de Wikipedia sobre filtraciones
