Función de transformación

Question

En el libro de texto de microeconomía de Mas-Colell he encontrado que el problema de la maximización del beneficio (así como muchas otras tareas de optimización) podría representarse con la aplicación de alguna función de transformación (p.135):

$\begin{cases}Max\text{ }p*y\\s.t.\text{ }F(y)\leq0\end{cases}$

Donde y es el vector de producción y F(.) es un función de transformación .

La única información que he encontrado sobre esta función indica que $F:R^L\to R$ y que el conjunto de producción de una empresa podría representarse como $Y=\{y\in R^L:F(y)\leq0\}$ . También si $F(y)=0$ se llama frontera de transformación (p.562)

Así que me interesa saber qué es concretamente esta función de transformación y la frontera de transformación. Intuitivamente debe estar relacionado con algunas restricciones de viabilidad, pero quiero tener alguna explicación completa y estricta.

Estaré muy agradecido por la ayuda.

Answer 1

Sé que esta es una pregunta antigua, pero pensé en añadir una respuesta por si es útil para otros con una pregunta similar. Mi interpretación de la pregunta original era que el autor de la pregunta buscaba un ejemplo concreto de cómo una función de producción y una función de transformación podrían estar relacionadas. Así que proporciono un ejemplo sencillo.

Supongamos que tenemos una empresa que produce un único producto, $ q$ utilizando una función de producción Cobb-Douglas de la siguiente forma:

$$ q\le f(x_1,x_2)=x_1^\alpha x_2^\beta $$

Eso es, $ f(x_1,x_2) $ describe la cantidad máxima de $ q$ que puede producir una empresa con esta tecnología. Por tanto, el conjunto de posibilidades de producción, $ \mathbf Y$ es el conjunto de todos los vectores $ \mathbf y=(-x_1,-x_2,q), \mathbf y\subseteq \mathbb R^3 $ (en este caso - claramente podría extenderse a $ \mathbb R^n $ ), de forma que la desigualdad anterior se cumpla.

$$ \mathbf Y=\{\mathbf y|q\le f(x_1,x_2)\} $$

Obsérvese que el vector tiene signos negativos en $ x_1$ y $ x_2$ porque son entradas , mientras que la salida, $ q$ es positivo.

Una forma equivalente de representar esto es como un función de transformación , $ F: \mathbb R^3 \to \mathbb R$ , donde

$$ F(\mathbf y) = q-x_1^\alpha x_2^\beta $$

Usando esta notación,

$$ \mathbf Y=\{\mathbf y|F(\mathbf y) \le 0 \} $$

Dónde $ F(\mathbf y) \le 0 $ implica que la primera desigualdad se satisface.

Esto es bastante sencillo de interpretar cuando sólo hay un producto; sin embargo, el concepto de función de transformación es útil porque nos permite pensar en tecnologías de producción que pueden utilizar múltiples insumos y producir múltiples productos.

Espero que esto sea útil.

Answer 2

Estoy un poco confundido con lo que preguntas, pero la idea básica de la transformación es que $y$ es un vector de inputs Y outputs de una empresa. Las cosas que son insumos se expresan en cantidades negativas. Así que cuando se maximiza $\vec{p} \cdot \vec{y}$ para obtener el máximo beneficio, está pagando $p_1 y_1 + \cdots$ para la(s) entrada(s), y ganando $p_n y_n + \cdots$ para la(s) salida(s).

La función de transformación simplemente describe cómo se transforma la(s) entrada(s) para obtener la(s) salida(s). La frontera de transformación es análoga a la frontera de posibilidades de producción, si está familiarizado con ella, sólo que desplazada para reflejar que los insumos se expresan como cantidades negativas.