llamada frente a la media de los precios

Question

Consideremos un modelo binomial de dos períodos, con un activo de riesgo. Hay dos tipos de opciones:

• opción de compra con precio de ejercicio $K$ es decir, la retribución viene dada por $g(S_T)=(S_T-K)^{+}$
• opción con una retribución dada por la media de los precios, es decir $g(S_T)=(\frac12(S_0+S_T)-K)^{+}$

donde $X^{+}=\max\{X,0\}$ .

Supongamos que $u>1$ y $ud>1$ . ¿Es posible saber qué opción tiene mayor precio libre de arbitraje?

Lo que he probado:

He trazado las funciones de pago de ambos contratos y me he dado cuenta de que la segunda opción es mejor que la segunda si el precio de la acción al vencimiento, $S_T$ se encuentra en $(K-\frac12S_0,K+S_0)$ y la primera opción es mejor si el $S_T$ se encuentra en $(S_T+S_0,+\infty)$

Intuitivamente, diría que la opción de compra es mejor y entonces costaría más. Pero no sé si estoy en lo cierto o cómo puedo determinar qué opción debería ser más cara.

¿Alguna idea?

Answer 1

La opción de compra vale más a menos que el tipo libre de riesgo sea cero. Sea $p$ sea la probabilidad de $S_0$ subiendo, $r$ sea la tasa libre de riesgo, $T$ es el paso de un tiempo. Entonces, que no haya arbitraje significa $$ S_T = S_0 \exp(r T) = p S_0 u + (1-p) S_0 d$$ . Estoy asumiendo $u$ y $d$ que no has dicho, son los factores de subida y bajada. Entonces, obviamente $$ S_0 \exp(r T) >= (S_0 \exp(r T) + S_0)/2 $$ porque $$ S_0 \exp(r T) >= S_0$$ .