Equilibrio simétrico de estrategia mixta: Entrar en los mercados [Resuelto]

Question

Pregunta: Supongamos que tres empresas idénticas y neutrales al riesgo deben decidir simultáneamente y de forma irreversible si entran en un nuevo mercado que sólo puede acoger a dos de ellas. Si las tres empresas entran, todas obtienen la recompensa 0; en caso contrario, las que entran obtienen 9 y las que se quedan fuera obtienen 8.

Mi intento: Elegir arbitrariamente a la empresa A, la empresa A está decidiendo si entra en el mercado o no. Por lo tanto, el equilibrio de Nash se produce cuando $\text{payoff of not entering = entering}$ . Sea $p$ sea la probabilidad de que cada empresa entre en el mercado. Entonces $$\text{not entering = P(only firm who enters) + P(second firm to enter) + P(third firm to enter)}\\ 8=9(p)(1-p)^2+9(p^2)(1-p)+0(p^3)\\ 8=9(p-p^2) $$

y obtengo un número complejo como respuesta. La ecuación correcta debería ser $8=9(1-p^2)$ pero no estoy seguro de cómo conseguirlo.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Edición: Lo resolví una hora después. Estaba siendo tonto. Dejo mi respuesta parcial abajo para quien tenga curiosidad.

Answer 1

Lo he resuelto, jaja. Resulta que estaba siendo tonto. Había descuidado por completo el hecho de que se trataba de un juego de 3 jugadores, y $\text{not entering}$ todavía tenía valores de probabilidad asociados. Dejemos que $A$ , $B$ y $C$ sean las tres empresas. Así que el juego se ve así: $$ \text{P(A enter;B,C enter)+P(A enter;only B enter)+P(A enter;only C enter)+}\\ \text{P(A enter;neither enters) = P(A dne;B,C enter)+P(A dne;only B enter)+}\\ \text{P(A dne;only C enter)+P(A dne;neither enters)} $$ Es un lío gigante de $p$ y $(1-p)$ pero al final del día, la versión final $8=9(1-p^2)$ se deriva.