Conceptos topológicos en la teoría económica

Question

PREGUNTA: ¿Cuáles son las aplicaciones principales o sistemáticas de las matemáticas posteriores a los años 60 a la microeconomía?

Por ejemplo, a finales del siglo XIX, Fisher utilizó por primera vez las ideas matemáticas de Gibbs para construir la teoría moderna de la utilidad. En el siglo XX, Mas-Colell incorporó las ideas topológicas para estudiar el equilibrio general. ¿Y a finales del siglo XX y principios del XXI?

Por ejemplo, considere la teoría de los grafos dirigidos, la teoría de las medidas, la topología, la teoría de las categorías y la homología o cohomología modernas, los métodos de los topos, la integración funcional, etc.

Nota 1 La econometría/estadística, sin modelización, está excluida. La única matemática moderna que se utiliza es la teoría del paseo aleatorio y el problema ergódico, que se resuelve mediante el análisis complejo. La RW y la EP no son específicas de la economía.

Cualquier publicación económica adecuada es una respuesta. Esto incluye también las publicadas en revistas no estrictamente económicas, por ejemplo el Revista de Psicología Matemática .

Nota 2 : Sí, lo sé, este tipo de obras son más raras (no hay que confundirlas con la oscuridad: algunas son muy conocidas). Eso es lo que hace que sea fácil pasar por alto una referencia de este tipo cuando se publica. De ahí la pregunta.

Answer 1

Tengo la firme sospecha de que un área emergente importante para las aplicaciones de la teoría de la medida será en las técnicas de programación dinámica aproximada. La programación dinámica aproximada (también conocida como "aprendizaje de refuerzo" en la literatura de ciencias de la computación) ha sido la dirección del trabajo de investigación en los últimos 10-20 años de la literatura de programación dinámica. La economía acaba de empezar a adoptar algunos de estos avances. Como ejemplo de la dirección de la literatura de la PD, véase el más reciente trabajo de Bertsekas Ampliación de la 4ª edición de su serie de programación dinámica, o la de Powell DP aproximado: resolver la maldición de la dimensionalidad . Los economistas están comenzando a utilizar algunas de estas herramientas, tanto directa como indirectamente, y sospecho que tendrán un impacto creciente en la literatura durante los próximos años. Algunos de los antecedentes analíticos de la convergencia de estos métodos son la topología y los sistemas dinámicos.

Un buen ejemplo de contribución teórica a este tipo de literatura por parte de los economistas es Pál y Stachurski (2013), Iteración de la función de valor ajustado con contracciones de probabilidad uno (versión sin comprimir) aquí ). Si se lee ese artículo, se puede ver la importancia de un buen conocimiento de la teoría de la medida. El libro de Stachurski Dinámica económica es en realidad una muy buena exposición de la programación dinámica desde esta perspectiva, construyendo a un ritmo que funciona para múltiples niveles de estudiante graduado/profesional (la teoría de la medida viene formalmente al final, creo - todavía estoy trabajando en esas ideas).

Espero que esto responda a su pregunta en cierta medida. Me temo que la expresión "matemáticas posteriores a los años 60" me resulta algo ambigua (debido a mi propio desconocimiento de la historia de la literatura matemática), así que si no he entendido nada, ¡mis disculpas!

Answer 2

Esto era demasiado largo para comentarlo. "Después de 1960" parece una frase arbitraria y muy un listón muy alto para un campo aplicado, incluida la microteoría. La mayoría de los temas que nombras no se considerarían matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, la teoría de la medida comenzó con la tesis de Lebesgue y tiene más de un siglo de antigüedad. La topología es aún más antigua y comenzó con Poincare, que introdujo los grupos de homología. Ambas se enseñan hoy en día a los estudiantes universitarios, al igual que el cálculo. (La matemática utilizada por Mas-Colell y otros en GE es el análisis, más que la topología).

La externalidad de los programas de investigación que impulsan las matemáticas modernas desde mediados del siglo XX a la comunidad aplicada es, en el mejor de los casos, indirecta. El punto de vista y las técnicas motivadas por, por ejemplo, la geometría no conmutativa, el programa de Langland, la conjetura de Poincare, la conjetura de Baum-Connes, la conjetura de los primos gemelos (se han concedido medallas Fields después de 1960 por los avances en estos problemas), etc., probablemente nunca se verán fuera de las matemáticas. Las finanzas matemáticas, por supuesto, siguen siendo matemáticas, pero están bastante alejadas del punto de vista económico.

Editar Resulta que, respondiendo directamente a su pregunta, ha habido aplicaciones de la topología a la teoría de la elección social, iniciadas por Chichilnisky, et. al. Aquí hay un artículo del JET sobre el tema realizado por un topólogo:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Tal vez alguien con experiencia en topología pueda comentar algo más.

Answer 3

Espacios Loeb se han utilizado para modelar situaciones con un continuo de agentes. Véase http://eml.berkeley.edu/~anderson/Libro.pdf y los capítulos de Sun sobre aplicaciones económicas en el libro Análisis no estándar para el matemático que trabaja .

Answer 4

La teoría de las medidas se utiliza ampliamente en el problema de la división equitativa (también conocido como "corte del pastel"). Véanse los numerosos artículos sobre la equidad en las revistas de economía .

Para un ejemplo concreto, véase Tatsuro Ichiishi y Adam Idzik, "Equitable allocation of divisible goods", JME 1999 .

Answer 5

Además del trabajo de Chichilnisky mencionado por Michael, otro uso interesante de la topología en la teoría de la elección social aparece en el trabajo de Redekop sobre el teorema de Arrow sobre los dominios económicos.

• Redekop, J. (1991). Funciones de bienestar social en dominios económicos restringidos. Journal of Economic Theory, 53, 396-427.
• Redekop, J. (1993a). Dominios económicos inconsistentes con Arrow. Social Choice andWelfare,10, 107-126.
• Redekop, J. (1993b). La topología del cuestionario en algunos espacios de preferencias económicas. Journal of Mathematical Economics, 22, 479-494.
• Redekop, J. (1993c). Funciones de bienestar social en dominios paramétricos. Social Choice andWelfare,10, 127-148.
• Redekop, J. (1995). Arrow theorems in economic environments. En W. A. Barnett, H. Moulin, M. Salles, & N. J. Schofield (Eds.), Social choice,welfare,and ethics (pp. 163-185). Cambridge: Cambridge University Press.
• Redekop, J. (1996). Arrow theorems in mixed goods, stochastic, and dynamic economic environments. Social Choice and Welfare,13, 95-112.

El teorema de imposibilidad de Arrow se demostró originalmente para un conjunto abstracto de alternativas, permitiendo todos los perfiles de preferencia posibles sobre este conjunto de alternativas. La pregunta que se hizo Redekop (y otros) fue: ¿existe un equivalente del teorema de Arrow cuando las alternativas son conjuntos de bienes, y el agente tiene preferencias "clásicas" sobre esos bienes (monotónicas, convexas, continuas, egoístas,...).

Más concretamente, se trataba de saber si existe una función de bienestar social que satisfaga los tres axiomas de Arrovian (independencia de la alternativa irrelevante, Pareto débil y no dictadura) en estos dominios económicos (véase Le Breton, Michel, y John A. Weymark. "Chapter Seventeen-Arrovian Social Choice Theory on Economic Domains". Handbook of social choice and welfare 2 (2011): 191-299 para una gran revisión, en la que se basa esta respuesta).

A grandes rasgos, el trabajo de Redekop muestra que, para algunos de esos problemas económicos, si un dominio de preferencias admite una función de bienestar social de Arrovian, el dominio debe ser "pequeño" en algún sentido topológico. Por ejemplo, en Redekop (1991), introduce una ingeniosa topología sobre conjuntos de preferencias que denominó topología del cuestionario y muestra que, en una economía de bienes públicos, si un dominio de preferencias admite una función de bienestar social Arroviana, entonces el dominio debe ser ninguna parte densa según esta topología (es decir, el cierre del dominio no contiene ningún conjunto abierto).