¿Supuesto de heteroscedasticidad en la fGLS en forma lineal?

Question

Estoy siguiendo el capítulo 8 ("Heteroskedasticidad" p. 259) de la 6ª edición de Woolridge Introducción a la econometría: Un enfoque moderno y no entiendo una pieza de la transformación de nuestro modelo.

Para fGLS, asumimos [1] $Var(u|\boldsymbol{x}) = \sigma^2exp(\delta_0 +\delta_1x_1+\delta_2x_2+...+\delta_kx_k)$ , donde $x_i, x_2,...,x_k$ son las variables independientes que aparecen en el modelo de regresión y el $\delta_j$ son parámetros desconocidos.

Entonces, utilizamos la definición de varianza condicional para decir $Var(u|\boldsymbol{x}) = E(u^2|\boldsymbol{x}$ ), ya que nuestra hipótesis de media condicional cero nos dice que $(E(u))^2$ es cero.

Ahora, aquí es donde estoy atascado : Wooldridge dice que nuestra suposición [1] anterior nos permite escribir $u^2=\sigma^2exp(\delta_0 +\delta_1x_1+\delta_2x_2+...+\delta_kx_k)v$ , donde $v$ tiene una media igual a la unidad, condicionada a $\boldsymbol{x}=x_1,x_2, ...,x_k$

¿Puede alguien ayudarme a intuir este último paso que ha dado Wooldridge? Esencialmente, parece que hemos asumido que $E(u^2|\boldsymbol{x})=\frac{u^2}{v}$ y no entiendo por qué o las propiedades que nos permiten hacer esto.

He encontrado este documento https://www.econ.uzh.ch/dam/jcr:e3cddc1b-f89d-4fb4-9474-c2c380355d69/joe_2017.pdf para ser útil (concretamente, la hipótesis nº 6 de la página 2), pero no me deja mucha intuición sobre lo que estamos haciendo y por qué, especialmente porque soy bastante nuevo en la econometría.

Gracias-
Maurus

Answer 1

Estoy usando la 4ª edición, pero el contenido debería ser el mismo. Parece que estás preguntando cómo llegó de

$$ Var(u|\boldsymbol{x}) = \sigma^2exp(\delta_0 +\delta_1x_1+\delta_2x_2+...+\delta_kx_k) $$

a

$$ u^2=\sigma^2exp(\delta_0 +\delta_1x_1+\delta_2x_2+...+\delta_kx_k)v $$

Como ha señalado correctamente, $Var(u|\boldsymbol{x}) = E(u^2|\boldsymbol{x})$ bajo la hipótesis de la media condicional nula ( $E(u|\boldsymbol{x}) = 0$ ). Esto nos permite sustituir el lado izquierdo de la ecuación, como hizo Wooldridge. $E(u^2|\boldsymbol{x})$ se convirtió en $u^2$ porque $u^2 = E(u^2|\boldsymbol{x}) + \epsilon$ , donde $\epsilon$ es el componente de $u^2$ que no está correlacionada con ninguna función de $\boldsymbol{x}$ . Este componente podría haberse dejado en esta fase, pero puede eliminarse porque más adelante se convertiría en una parte del término de error que no afecta a los valores ajustados de la regresión de $log(u^2)$ en $\boldsymbol{x}$ (es decir, parte de $e$ en la siguiente ecuación del libro).

En el lado derecho de la ecuación, Wooldridge añade $v$ que tiene una media igual a la unidad, condicionada a $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, ..., x_k)$ . Esto significa que dado un conjunto de valores para $\boldsymbol{x}$ , $v$ se espera que tenga un efecto factorial multiplicativo de $1$ en $u^2$ (en otras palabras, ningún efecto). Al introducir este término en la ecuación (y suponiendo que es independiente de $\boldsymbol{x}$ ), podemos convertirlo en el término de error $e$ en la siguiente ecuación:

$$ log(u^2) = \alpha_0 + \delta_1x_1+\delta_2x_2+...+\delta_kx_k+e $$

porque tomar un logaritmo de una variable que tiene una media de $1$ nos dará una variable que tiene una media de $0$ más alguna constante (igual al negativo de la media de los valores logarítmicos de la variable original $v$ ). Esa constante se traslada al término constante (por eso esta última ecuación tiene $\alpha_0$ en lugar de $\delta_0$ ) y nos queda una ecuación que se puede estimar mediante MCO.

P.D. El $v$ en este libro no es lo mismo $v$ que encontró en el supuesto 6 del documento enlazado. Allí es una función, no una variable.

Answer 2

Escribamos $\mathbf{x}\delta = \delta_0 + \delta_1 x_1 + \cdots + \delta_k x_k$ para la brevedad de la nota. Si $u^2 = \sigma^2 \exp(\mathbf{x}\delta) v$ , donde $E(v|\mathbf{x})=1$ entonces es cierto que $$E(u^2|\mathbf{x}) = \sigma^2 \exp(\mathbf{x}\delta) E(v|\mathbf{x}) = \sigma^2 \exp(\mathbf{x}\delta).$$ El LHS es $Var(u|\mathbf{x})$ por definición cuando $E(u|\mathbf{x})=0$ como usted señaló.

Tenga en cuenta que $u^2 = \sigma^2 \exp(\mathbf{x}\delta) v$ no es el único camino posible para $E(u^2|\mathbf{x}) = \sigma^2 \exp(\mathbf{x}\delta)$ . Otra posibilidad es $u^2 = \sigma^2 \exp(\mathbf{x}\delta) + v$ con $E(v|\mathbf{x})=0$ , lo que implica también $E(u^2|\mathbf{x}) = \sigma^2 \exp(\mathbf{x}\delta)$ . Wooldridge elige el modelo multiplicativo $u^2 = \sigma^2 \exp(\mathbf{x}\delta) v$ con $E(v|\mathbf{x})=1$ porque quiere tomar el tronco (nota $v>0$ también es necesario) y tener un modelo lineal. AlexK da una buena explicación sobre la derivación del modelo lineal.

Espera. ¿Por qué es tan importante tomar el registro? Porque queremos que los valores ajustados sean estrictamente positivo (aplicando su función inversa, exp) para todo $i$ . También es tan agradable que se deriva un modelo lineal, que es extremadamente fácil de estimar. Un modelo como $u^2 = \exp(\mathbf{x}\delta) + \varepsilon$ o $u^2 = (\mathbf{x}\delta)^2 +\varepsilon$ con $E(\varepsilon|\mathbf{x})=0$ también dan valores ajustados estrictamente positivos pero no es un modelo lineal por lo que la estimación es difícil.

Para añadir un poco más de detalles técnicos. Necesitamos que $v$ y $\mathbf{x}$ son mutuamente independiente para que $\log(v)$ y $\mathbf{x}$ son mutuamente independientes. Entonces, después de tomar el logaritmo, tenemos $$\log (u^2) = \log(\sigma^2) + \mathbf{x} \delta + \log(v),$$ donde $E[\log(v)|\mathbf{x}] = E[\log(v)]$ es una constante (no nula) independiente de $\mathbf{x}$ y tenemos un modelo lineal estándar después de ajustar el intercepto. En realidad, ni siquiera necesitamos $E(v|\mathbf{x})=1$ . Todo lo que necesitamos es que $v$ y $\mathbf{x}$ son mutuamente independientes.

Answer 3

Toma $\sigma^2 = 1$ . Si $E[u^2|x] = f(x)$ para algunos $f(x) > 0$ Entonces, trivialmente, $$ u^2 = f(x) \frac{u^2}{f(x)}, $$ donde $v = \frac{u^2}{f(x)}$ tiene una media igual a 1. En este caso particular, $f(x) = exp(\cdots)$ .