Pregunta sobre el uso del lema de Ito en Gamma PnL

Question

Al derivar el error de cobertura delta si nos cubrimos con vol implícito, y el verdadero vol es diferente, decimos que el PnL de la opción de compra es:

$$dC=C_tdt+C_SdS+0.5C_{ss}<QV>dt - (1)$$

Dónde $<QV>$ es la 'variación cuadrática realizada' del precio de la acción, y no el vol implícito incorrecto. Aunque entiendo esto desde la perspectiva matemática (el cambio en una función depende del cambio/dinámica real de la variable independiente), y también entiendo que este precio de compra debe 'derivar' a menos de la tasa libre de riesgo (por lo tanto, crear un arbitraje con el precio de compra correcto). Sin embargo, no veo cómo "realizar" este PnL.

Consideremos el caso en el que he comprado una opción de compra en un mercado en el que no hay liquidez de opciones. Mañana vuelvo, marco a modelo, y por lo tanto mi PnL debería venir dado por la diferencia del precio modelo de hoy y mañana, que no es más que la ecuación anterior pero con el vol implícito utilizado como la variación cuadrática. ¿Cómo puedo saber cuál es el valor correcto para marcar mi valor de compra mañana? ¿Existe algún mecanismo de mercado que obligue a que el valor de mi call venga dado por la ecuación anterior? ¿Significa esto que tendré que remarcar la volatilidad en mi modelo cada día, para ser consistente con el PnL?

Editar: Estoy tratando de hacer la misma pregunta de una manera diferente. Que $<QV>$ sea la variación cuadrática real y $<MV>$ sea la variación cuadrática implícita del precio de las acciones. Entonces:

$$dC(t,S_t;MV)=C_tdt+C_SdS+0.5C_{ss}<MV>dt$$ donde las derivadas se toman al vol implícito.

$$dC(t,S_t;QV)=C_tdt+C_SdS+0.5C_{ss}<QV>dt$$ donde las derivadas se toman en el verdadero vol.

Sin embargo, en la ecuación 1, las derivadas están en el vol implícito, mientras que la variación cuadrática está en el vol verdadero. No estoy seguro de qué función $C$ está en la ecuación (1). Ciertamente no son las funciones en el LHS de (2) y (3). ¿Puede alguien explicar de qué función de precio de llamada se trata en la ecuación (1)?

Answer 1

Espero que esto responda a sus preguntas, Denote $C_{model}(S,t)=e^{-rT}E_{{model}}[(S_T-K)^+]$

• Modelamos la dinámica del spot $S$ con diferentes modelos, por ejemplo

• En BS, $$\frac{dS}{S}=rdt+\sigma dW$$

• $dC_{BS}(S,t)=\frac{\partial C_{BS}}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}}{\partial S^2}dS^2$

• $dC_{BS}(S,t)=\frac{\partial C_{BS}}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}}{\partial S^2}\sigma^2S^2dt$

• Tenga en cuenta que $dC_{BS}(S,t)$ es sólo el PnL de la opción que existe en el mundo BS

¿Puede alguien explicar qué función de precio de llamada interviene en la ecuación (1)?

• En la ecuación (1), ¿puede aclarar que dS es el $dS$ o modelo $dS$ ?

• Si te refieres a $dS$ es el mundo de black scholes $dS$ con $\frac{dS}{S}=rdt+\sigma dW$ entonces $$dC_{BS}(S,t)=\frac{\partial C_{BS}}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}}{\partial S^2}dS^2$$

• Si te refieres a $dS$ es el mundo real $dS$ con dinámica desconocida, creo que su ecuación (1) LHS's $C=C_{mkt}$ y la de RHS $C=C_{BS}$ básicamente quieres explicar la opción P&L observada en el mercado real con los griegos de black scholes

• la ecuación (1) sólo es válida cuando el vol implícito no ha cambiado

• Si el vol implícito no ha cambiado: $_{mkt}=\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S^2}dS^2$

• Si el vol implícito ha cambiado: $_{mkt}=\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S^2}dS^2+\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial \sigma\partial S}dSd\sigma+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial \sigma^2}(d\sigma)^2+...$

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1. Puedes "realizar" este PnL $dC$ vendiendo la opción mañana

2. Si no hay liquidez mañana, significa que su opción de compra no tiene una comilla en el mercado para calcular su nuevo vol implícito. Por supuesto, puede utilizar el vol implícito de ayer para calcular el delta, gamma y theta P&L y estimar el valor teo de la opción de compra hoy, pero los vol implícitos rara vez son constantes en el mundo real, por lo que sólo será una estimación

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3. PnL

• Si marca para modelar sin recalibrar los parámetros, su $PnL = _+_+0.5_{}dS^2$ . Tenga en cuenta que este PnL no será igual a $dC$ si los parámetros del modelo cambian mañana

• Digamos que su modelo toma $\sigma$ como parámetro. Si se vuelve a calibrar $\sigma$ PnL hasta el segundo orden se lee $$PnL=_+_+0.5_{}dS^2+C_{\sigma}d\sigma+C_{\sigma S}d\sigma dS+0.5C_{\sigma \sigma}(d\sigma)^2$$

• Por ejemplo, si el precio al contado aumenta en 20 dólares y el volumen implícito se incrementa en un 2%, y usted insiste en marcar el modelo sin recalibrarlo, su $PnL_{marktomodel} = _+_(20)+0.5_{}20^2$

• $PnL_{marktomkt} = _+_(20)+0.5_{}20^2+C_{\sigma}0.02+C_{\sigma S}(20)(0.02)+0.5C_{\sigma\sigma}0.02^2 =PnL_{marktomodel}+unexplained\ PnL$

• El hecho de que se haya negado a ajustar sus parámetros a pesar de que los valores de los parámetros implícitos en el mercado han subido significa que su modelo con los parámetros de ayer ya no puede fijar el precio de su opción igual que las comillas actuales del mercado

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4. "Vuelvo mañana, marco para modelar, y por lo tanto mi PnL debe estar dado por la diferencia del precio del modelo hoy y mañana, que no es más que la ecuación anterior pero con vol implícito utilizado como la variación cuadrática ":

• Creo que $Gamma\ PnL=\frac{1}{2}\Gamma dS^2$ Por ejemplo, si el spot de hoy es de 100 y el de mañana de 120, $Gamma\ PnL=\frac{1}{2}\Gamma 20^2$

• Gamma esperada PnL en BS = $\frac{1}{2}\Gamma_{BS}E[dS^2]=\frac{1}{2}(\Gamma_{BS}S^2)\hat\sigma^2dt$ . Su P&L gamma esperada está relacionada con el vol implícito, pero actual gamma P&L es simplemente $\frac{1}{2}\Gamma dS^2$

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5. ¿Existe un mecanismo de mercado que obligue a que el valor de mi llamada venga dado por la ecuación anterior?

• Sólo hay un precio de mercado, creo que se refiere a la atribución PnL
• PnL se expande en diferentes derivadas parciales según el lema de Ito, tal y como has mencionado
• Mientras se recalibren los parámetros, las derivadas parciales se sumarán a las del mercado $dC$ (los términos de orden 3 o superior no supondrán una diferencia material para la mayoría de los modelos)
• Denote $C=Model(S,t|\sigma)$ y $C(S_0,t_0|\hat\sigma_0)=MktPrice(S_0,t_0)$
• Si se recalibra, entonces $MktPrice(S_1,t_1)=C(S_1,t_1|\hat\sigma_1)$ $$C(S_1,t_1|\hat\sigma_1)-C(S_0,t_0|\hat\sigma_0)=_+_+0.5_{}dS^2+C_{\sigma}d\sigma+C_{\sigma S}d\sigma dS+0.5C_{\sigma \sigma}(d\sigma)^2+...$$
• Por lo tanto, $$MktPrice(S_1,t_1)-MktPrice(S_0,t_0)=_+_+0.5_{}dS^2+C_{\sigma}d\sigma+C_{\sigma S}d\sigma dS+0.5C_{\sigma \sigma}(d\sigma)^2+...$$
• Sin recalibración, entonces $MktPrice(S_1,t_1)\neq C(S_1,t_1|\hat\sigma_0)$ $$C(S_1,t_1|\hat\sigma_0)-C(S_0,t_0|\hat\sigma_0)=_+_+0.5_{}dS^2+C_{\sigma}0+C_{\sigma S}0 dS+0.5C_{\sigma \sigma}(0)^2+...=_+_+0.5_{}dS^2$$