¿Puede explicar el "valor temporal del dinero" y el "interés compuesto" y dar ejemplos de cada uno?

Question

¿Puede explicar el valor temporal del dinero concepto, incluyendo valor actual y valor futuro ?

¿Cómo es que interés compuesto ¿trabajo? ¿Por qué el interés compuesto es un concepto poderoso cuando se trata de pedir préstamos, ahorrar o invertir?

Answer 1

Una definición o analogía muy sencilla del valor actual sería el "principal" o "importe del préstamo" que se presta y el valor futuro como la devolución del principal junto con el coste del préstamo

El (1+i)^n es el interés que se gana en valor presente

El (i+i)^-n es el interés que se paga por el valor futuro

El primero es el FVIF o valor futuro de un dólar

El segundo es el PVIF o valor actual de un dólar

Ambos factores de interés suponen que los intereses se pagan anualmente, si el pago de intereses se realiza con más frecuencia dentro del año de pago, los factores de interés se ven así

(1+i/m)^mn

(i+i/m)^-mn

m es la frecuencia del pago de intereses, cuanto más alta sea esta frecuencia más intereses se pagan o ganan y se pagan o ganan más intereses cuando la capitalización se produce en cada pequeña fracción de tiempo

Esto implica

m->
i/m->0
(1+i/)^ -> e^i

aquí e es la e de Euler

Así, los factores de interés se dirigen a este

FVIF = e^it
PVIF = e^-it

En los ejemplos anteriores sólo se ha considerado un único reembolso en una fecha futura.

Ahora bien, si usted estuviera obligado a realizar reembolsos periódicos del préstamo, digamos por un importe de 1 dólar durante n períodos. Entonces el valor actual de todos esos pagos periódicos es el "Principal" o la cantidad que has tomado prestada. Es la suma de los pagos periódicos descontados como

(1+i)^-1 + (1+i)^-2 + (1+i)^-3 + ... + (1+i)^n-1 + (1+i)^-n

si sustituimos 1/1+i por x entonces resulta ser una serie geométrica de la forma

x + x^2 + x^3 + ... + x^n-1 + x^n

Esto se simplifica a

(1-x^n) / (1 - x)

sustituyendo (1/1+i) por x obtenemos

[1-(1+i)^-n] / (1-1+i)
PVIFA = [1-(1+i)^-n] / i

que es el valor actual del pago periódico por un importe de 1$.

El valor futuro de los pagos periódicos por importe de 1$ puede obtenerse multiplicando el PVIFA por (1+i)^n dando

FVIFA = (1+i)^n[1-(1+i)^-n] / i
FVIFA = [(1+i)^n-(1+i)^n(1+i)^-n] / i
FVIFA = [(1+i)^n-(1+i)^n-n] / i
FVIFA = [(1+i)^n-(1+i)^0] / i
FVIFA = [(1+i)^n-1] / i

Una vez más, el interés se compone por año y para la capitalización intra-anual tendría que encontrar en primer lugar el rendimiento efectivo anual AEY para utilizar como la tasa de efecto es el cálculo PVIFA y FVIFA

AEY = (1+i/m)^m -1

para la composición continua

AEY = e^i - 1

Todos los cálculos realizados hasta ahora no han tenido en cuenta la inflación, si ajustamos los importes a un crecimiento del g%, el valor actual de un dólar sería el siguiente

PVIFG = (1+g)^(n-1) . (1+i)^(-n)

FVIFG = (1+g)^(n-1) . (1+i)^(n)

PVIFGA = [ 1 - (1+g)^n . (1+i)^-n ] / [i - g]

FVIFGA = (1+i)^n[ 1 - (1+g)^n . (1+i)^-n ] / [i - g]
FVIFGA = [ (1+i)^n - (1+i)^n. (1+g)^n . (1+i)^-n ] / [i - g]
FVIFGA = [ (1+i)^n - (1+g)^n ] / [i - g]

Una vez más, habría que utilizar AEY si la frecuencia de composición de los intereses es intraanual

Supongamos ahora que cada reembolso del préstamo aumenta o disminuye en una cantidad adicional Q por período. Para hallar el valor actual de una serie de pagos P que aumentan o disminuyen por período en una cantidad Q haríamos los siguientes cálculos

PV = P PVIFA(i%, n) + Q/i [ PVIFA(i%, n) - n PVIF(i%,n) ]

Aquí

PVIFA(i%, n) = [ 1 - (1+i)^-n ] / i

y

PVIF(i%, n) = (1+i)^-n

Todos estos cálculos han estado disponibles en tadXL complemento para las finanzas y que se ofrece progresivamente como biblioteca de funciones financieras en JavaScript tadJS . Tenga en cuenta que el tad serie de la biblioteca de funciones financieras para diversos entornos como Excel, JavaScript, PHP, Ruby, Microsoft.net y otros son propiedad del autor que escribe este post. Todas estas bibliotecas, excepto una para Excel, están disponibles de forma gratuita para su uso público.

Y el valor futuro de dichos pagos con incrementos puede hallarse multiplicando el PV por (1+i)^n de la siguiente manera

FV = P PVIFA(i%, n)(1+i)^n + Q/i [ PVIFA(i%, n)(1+i)^n - n PVIF(i%,n)(1+i)^n ]
FV = P FVIFA(i%, n) + Q/i [ FVIFA(i%, n) - n ]

Aquí

FVIFA(i%, n) = [ (1+i)^n - 1 ] / i